#1 7. Februar 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 Hey, ich brauche bei solchen Nachdenkmatheaufgaben immer 'nen kleinen Schubs wie ich Anfangen soll. Hier sind die zwei Aufgaben: Code: 1) Eine Böschung hat das Profil y=Wurzel(x) Lehrer: Man kann da jetzt ja nicht hochfahren, weil es zu steil ist. Also soll eine Rampe auf die Böschung gelegt werden, mit einer Steigung von 20%. Die Rampe soll denn eine Tangente zu Böschung sein, und so in die Böschung übergehen, dass man keinen Huckel spüren würde. Die Aufgaben dazu: 1.) Bestimme Auflagepunkte A (der Auflagepunkt der Rampe auf dem Boden) & B (der Auflagepunkt der Rampe auf der Böschung) 2.) Bestimme die Länge der Rampe Bild von Wrzl(x): https://www.xup.in/pic,10612631/boeschung.jpg Code: 2) Ist schwer zu erklären hab mal ne Skizze gemacht. Einer Achterbahn fehlt das Hugelstück, was noch drauf gesetzt werden soll. Das bereits Bestehende soll huckellos in das Hügelstück übergehen. Die wichtigen Daten sind auch in der Skizze zu entnehmen. https://www.xup.in/pic,10459844/parabel.jpg 1.) Bestimme die Parabel 2.) Bestimme die maximale Höhe Es ist nicht die ganze Lösung notwendig (wäre auch in Ordnung solange es nachvollziehbar ist), da ich nur einen kleinen Tipp brauche, wie ich da rangehen soll. Hoffe könnt mir helfen. MfG
#2 7. Februar 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben Also erstmal hast du die Steigung der Tangente gegeben (20%=0,2). Dann suchst den Punkt, in welchem die Ableitung der Wurzelfkt. 0,2 ergibt, das ist der Berührpunkt B. A kannst du nun durch die allgemeine Geradengleichung der Tangente bestimmen ( f(x)=mx+b) ), da setzt du den Punkt ein um den Achsenabschnitt b zu bekommen und kannst mithilfe der errechneten Gleichung dann auch A errechnen (Tipp: f(x)=0). Die Länge der Rampe kannst du mit Pythagoras bestimmen. Teil 2 folgt gleich, bin grade essen /Edit: So, wieder da, Augabe zwei ist eigentlich ganz einfach. Du ziehst ein Koordinatensystem so, dass die Figur durch die y-Achse genau in der Mitte geteilt wird. Du stellst die allgemeine Parabelform auf für eine Normalparabel ( f(x)=ax²+b in diesem Fall, da das Maximum auf der y-Achse liegt), setzt dort den Übergangs-Punkt ein. Durch die Daten solltest du den rauskriegen. Um nun a und b zu bestimmen gehst du folgendemaßen vor: a bekommst du indem du die Ableitung der Parabel (f'(x)=2ax) gleich der Steigung am Übergangspunkt setzt (Tipp: Steigungsdreieck). a nunin die Parabelgln eingesetzt krieste b raus und hast deine Gleichung. Zum höchsten unkt gelangs du, wenn du den Hochpunkt der erhaltenen Funktion bestimmt. So, da bleibt noch genug für dich zum rechnen, aber das Prinzip sollte klar sein. Mfg PS: @ Funky, ich hab ihm halt nur n paar Tips gegeben, du die ganze Lösung
#3 7. Februar 2009 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben Die erste ist rech einfach, versuche das ma eben in Worte zu fassen. Du hast die Steigung von 20% die die Rampe haben soll. Das heisst die Steigung beträgt 20m hoch je hundert meter länge, sprich 20/100 = 0,2 Du hast die Funktion der Böschung: Wurzel(x). Diese lässt sich auch ausdrücken durch X hoch 0,5 (x^0,5) Die Ableitung einer Funktion definiert die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt x Ableitung von Wurzel(x) = 0,5*x^(-0,5) (0,5 mal x hoch -0,5) Jetzt setzt du die Steigung die die Tangente haben soll mit der Ableitung der Funktion gleich und löst nach x auf. 0,2 = 0,5*x^(-0,5) 0,2 = 0,5 / Wurzel(x) Wurzel(x) = 2,5 x = 2,5² x = 6,25 So, im Punkt x = 6,25 geht die Rampe mit der Steigung 20% nahtlos in die Steigung der Böschung über (Punkt A). Dann stellen wir jetzt für die Rampe eine Geradengleichung auf: Wir haben: die Steigung = 0,2 Den Punkt P(6,25/2,5) Allgemeine Geradengleichung: y = m*x+t Punkt und Steigung eingesetzt: 2,5 = 0,2*6,25+t t = 1,25 => y = 0,2x + 1,25 Schnittpunkt mit der x-Achse (entspricht B, Auflagepunkt auf dem Boden): 0,2x + 1,25 = 0 x = - 6,25 So, jetzt haben wir ein rechtwinkliges Dreieck und können den guten alten Pythagoras nehmen: a²+b²=c² c = Wurzel(12,5²+2,5²) c = 12,75 (gerundet) Hätte ich jetzt mal so gemacht, falls falsch sagt bescheid Lg, funky PS @ gizzleby: Mist, du warst schneller Der Ansatz ist bei uns der gleiche, habs nur auführlicher gemacht.
#4 7. Februar 2009 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben 1. Aufgabe: Du brauchst nur zu suchen wo die Steigung 20% oder umgerechnet 1/5 ist. Die Ableitung von Wurzel x ist, ist 1/[2*(Wurzel x). Du setzt es also gleich und formst nach x um. Dann hast du die Stelle wo die Tangente ansetzt. Die Länge kriegst du dann mit dem Satz des Pythagoras. 2. Aufgabe: Stell ein paar Gleichungen auf: An der Stelle 35m (Differenz zwischen den beiden horizontalen Abständen), Steigung ermitteln mit m = Delta y / Delta x. In der Mitte (50m) muss ein Extremum sein: 3 Gleichungen, 3 Variablen mit der Gleichung: f(x) = ax^2 + bx + c. Edit: Verdammt, hab ich so lange für die paar Sätze gebraucht? Edit2: Hab vergessen dass man Punkte dafür auch gut gebrauchen kann, man müsste nur irgendwo (0|0) definieren.
#5 7. Februar 2009 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben Hi ich hab erstmal Aufgabe 1 gemacht... 1.) Man brauch erstmal die Tangentengleichung t(x) = f'(x0)(x-x0)+f(x0) Die Tangente soll ne Steigung von 20% haben (d.h. 1/5). Da ne Tangente eine lineare Gleichung ist hat sie in jedem Punkt den Anstieg von 1/5, also auch im Schnittpunkt mit Wurzel (x). Weiter haben Wurzel (x) und die Tangente im Schnittpunkt auch den selben Anstieg! Das heißt, du kannst 1/5 gleichsetzen mit der ersten Ableitung von Wurzel (x) -> 1/5 = 1 / ( 2*Wurzel (x) ). Dadurch bekommste die Schnittstelle bei x = 25/4 (hast also schon den x-Wert vom Punkt B). Jetzt kannste deine Tangentengleichung aufstellen und kommst auf t(x) = x/5 + 5/4 Nullstelle der Tangente ist der gesuchte Punkt A -> A(-25/4 / 0) Die Schnittstelle x = 25/4 in Wurzel (x) eingesetzt erhälste Punkt B (25/4 / 5/2). Sorry, das war wohl die ganze Lösung... Kannste ja zur KOntrolle nochmal plotten die Tangente und Wurzel (x)... 2.) Die Aufgabe ist ne schnelle Pythagoras Rechnung (Skizze verdeutlich das). Der Abstand der x-Werte von Punkt A und B ergibt die Länge der Seite a (a=50/4), der y-Wert vom Punkt B die Länge von b (b=5/2) und dann ne Runde a^2 + b^2 = c^2 und man kommt auf c = 12,7475 (gerundet...). Muss jetzt erstmal essen, dann vielleicht noch Aufgabe 2? Ich hoffe das war einleuchtend und hilfreich... ! greetz
#6 7. Februar 2009 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben zu Aufgabe 2: allgemeine Form einer Parabel: y=ax^2+bx+c offensichtlich ist die Parabel symmetrisch zur y-Achse: f(x)=f(-x) -> ax^2+bx+c=ax^2-bx+c darauf folgt schonmal b=0 nächste Bedingung: die Ableitung an der Stelle 15m muss gleich der Steigung der Geraden sein: y'=2ax y'(15m)=30a dies soll -40/35 entsprechen (Steigungsdreieck) 30a=-40/35 -> a=-4/105 nächste Bedingung: der Funktionswert an der Stelle 15 m beträgt 40m: f(15m)=-4/105*15^2+c=40 -> c=340/7 -> y=-4/105*x^2+340/7 Gruß
#7 7. Februar 2009 AW: [11. Klasse] 2 Matheaufgaben Danke, denn wühl ich mich da mal durch. Wenn ich wieder Fragen haben, eröffne ich wieder. BWs sind raus. MfG