#1 22. März 2009 Hi, ich schreib in zwei Tagen eine Klausur, in der auch Fehlerrechnung dran kommt und habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Sie wollen die Funktion f(x)=(cos(3x)+5)/x^2+4 an einer Ihnen unbekannten Stelle x element von [-2, 1] auswerten. Dazu wollen Sie einen Meßwert "x" element von [-2,1] benutzen. Wie groß darf der absolute Fehler von "x" höchstens sein, damit der absloute Fehler von f("x") höchstens 1/4 ist? Ich weiss leider garnicht wie das geht und im Internet habe ich keine vernünftigen Quelllen gefunden. Ich wäre für eine Lösung mit vernünftiger erklärung sehr dankbar.bew. ist selbst verständlich drin mfg m0e + Multi-Zitat Zitieren
#2 22. März 2009 AW: Absoluten Fehler berechnen wie kann man den fehler von einer funktion bestimmen? ist mir i-wie neu. fehlerbetrachtungen kenne ich nur aus der physik(auswertung von messergebnissen) + Multi-Zitat Zitieren
#3 22. März 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: Absoluten Fehler berechnen Das hört sich für mich nach Fehlerfortpflanzung an (wiki) Du hast also einen Messwert x0 mit absoluten Fehler Δx dann gilt für den absoluten Fehler der Funktion f(x) folgendes: Δf(x0) = | df/dx(x0) | Δx = |f'(x0)| Δx Hier im Beispiel: f(x)=(cos(3x)+5)/x²+4 f'(x) = -3 sin(3x) / x² - 2 (cos(3x) + 5) / x³ Δf(x0) = |( -3 sin(3 x0) / x0² - 2 (cos(3 x0) + 5) / x0³ )| Δx Dies ist streng genommen eine Funktion von x0 und Δx. Wir suchen jetzt aber das größte Δx, bei dem für alle Werte -2 ≤ x0 ≤ 1 die Funktion Δf(x0) ≤ 1/4 ist. Wir definieren für die Ableitung ohne Betrag: g(x) = ( -3 sin(3 x) / x² - 2 (cos(3 x) + 5) / x³ ) Wir suchen zuerst einmal das Maximum der Funktion f bei festem Δx, was gleichbedeutend ist indem wir bei der Funktion g(x) nach einem Hoch- oder Tiefpunkt suchen: g'(x) = 0 --> Mir fällt gerade auf, dass die Ableitung der Funktion divergent ist, was eine solche Betrachtung ziemlich zunichte macht, da der absolute Fehler auch gegen unendlich geht für kleine x. Da bleibt noch die einzige Möglichkeit nämlich Δx = 0, aber das ist wohl nicht gefragt. Kannst du bitte noch einmal die Funktion und das Intervall überprüfen, vielleicht stimmt da ja etwas nicht. Hast du vielleicht ne Klammer um x² + 4 vergessen? EDIT: Hier mal die Lösung für: f(x)=(cos[3 x]+5)/(x^2+4) Einmal ableiten: f'(x) = (-2 x (5 + Cos[3 x]) - 3 (4 + x^2) Sin[3 x])/(4 + x^2)^2 Δf(x0) = |f'(x0)| * Δx nennen wir wie oben die Ableitung ohne Betrag g(x): --> g(x) = (-2 x (5 + Cos[3 x]) - 3 (4 + x^2) Sin[3 x])/(4 + x^2)^2 Einmal ableiten, um Maximum bei festem Δx zu finden: g'(x) = (-40 + 30 x^2 - (152 + 66 x^2 + 9 x^4) Cos[3 x] + 12 x (4 + x^2) Sin[3 x])/(4 + x^2)^3 Wir suchen nun nach den Extrema: g'(x) = 0 Dies lässt sich numerisch lösen: x -> -1.4909 x -> -0.531761 x -> 0.531761 Für die Fehler an diesen Stellen gilt: Δf = |g(x = -1.4909)| * Δx = 0.101581 * Δx ≤ 1/4 --> x ≤ 2.46108 Δf = |g(x = -0.531761)| * Δx = 0.988764 * Δx ≤ 1/4 --> x ≤ 0.252841 Δf = |g(x = 0.531761)| * Δx = 0.988764 * Δx ≤ 1/4 --> x ≤ 0.252841 Hier müssen wir nach dem größten Δx suchen, welches alle drei Ungleichungen erfüllt: --> Δx = 0.252841 + Multi-Zitat Zitieren
#4 23. März 2009 AW: Absoluten Fehler berechnen Vielen Dank, echt super Erklärt!! bew. ist schon draußen + Multi-Zitat Zitieren