Differentialgleichungen usw.

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von n3m3sis, 6. März 2009 .

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  1. #1 6. März 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    heyho

    ich habe hier probleklausuren von Mathe + die lösungen. aber da steht halt nur das ergebnis und nicht der weg.
    es geht um die aufgaben 3,4,5, aber insbesondere um aufgabe 4. würde halt gerne wissen wie es genau geht. ich denke, dass wenn man einen weg hat, die andern nicht viel schwerer zu lösen sind.
    ich lade die klausur+lösungsblatt einfach mal hoch.

    schon mal vorneweg: für schüler dürfte das nicht zu schaffen sein, aber we rgut ist kanns ja mal versuchen ;)

    BW ist für jede hilfe drin.

    Klausur:
    No File | xup.in

    Ergebnis:
    No File | xup.in

    mfg n3m3sis
     

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  3. #2 6. März 2009
    AW: Differentialgleichungen usw. hilfe !!

    Zur 4:

    Du weißt wie man lineare Differentialgleichungen im allgemeinen löst?
    Man macht das in zwei Schritten:
    1) Lösung der homogenen Gleichung (y''−2y'+5y = 0)
    2) Lösung der inhomogenen Gleichung (y''−2y'+5y = x)

    4a)
    Bei der 4a hast du eine homogene Gleichung, deshalb entfällt der zweite Schritt:
    Als Ansatz nimmt man bei lin. Differentialgleichungen diesen Typs immer Exponentialfunktionen:
    y(x) = e^(λ x)

    Das setzt man jetzt in die DGL ein und klammer die Exponentialfunktion aus:
    (λ^2 - 2 * λ + 5) e^(λ x) = 0

    Das führt auf das charakteristische Polynom:
    λ^2 - 2 * λ + 5

    Welches folgende Lösungen hat:
    λ = 1 - 2 i
    λ = 1 + 2 i

    Man bekommt also zwei linear unabhängige Teillösungen.
    y(x) = e^((1 - 2 i)x)
    y(x) = e^((1 + 2 i)x)

    Für eine lin. Differentialgleichung n. Grades braucht man n lin. unabhängige Lösungen. Wären diese 2 Lösungen nicht lin. unabhängig, müsste man weitere Lösungen suchen mit Ansatz (x ∈ N). Beginnend mit n=1 bis man zwei lin. unabhängige Lösungen hat:
    y(x) = x^n e^(λ x)

    Die Lösung der homogenen Gleichung ist dann die lineare Superpositionen der linear unabhängigen Teillösungen:
    y(x) = C1 e^((1 - 2 i)x) + C2 e^((1 + 2 i)x), C1, C2 ∈ C

    Für reelle Lösungen musst du den Realteil von y(x) nehmen, was auf folgendes führt:
    y(x) = A e^x cos(2x) + B e^x sin(2x)
    oder alternativ mit einer Phase als zweite Konstante
    y(x) = A e^x sin(2x + Φ)
    A, B, Φ ∈ R


    4b)
    Die homogene Gleichung löst sich genauso wie oben:
    y_hom(x) = A e^x sin(2x + Φ)

    Für die Lösung der inhomogenen Gleichung, auch partikuläre Lösung genannt, orientiert man sich an der rechten Seite (Inhomogenität). Hat man als Inhomogenität ein Polynom, so setzt man ebenfalls ein Polynom an mit gleichem Grad.

    In unserem Fall haben wir:
    Inhomogenität: x
    --> Ansatz: y_part(x) = a * x + b

    0 - 2 a + 5 a x + 5 b = x

    Das sortieren wir jetzt nach Potenzen von x und machen einen Koeffizienten-Vergleich:
    ( 5 a ) x + ( -2 a + 5 b ) = x
    --> 5 a = 1 --> a = 1/5
    --> -2 a + 5 b = 0 --> b = 2/5 a = 2/25

    Die allgemeine Lösung ergibt sich indem man die homogene und partikuläre Lösung addiert:
    y(x) = y_hom(x) + y_part(x) = 1/5 x + 2/25 + A e^x sin(2x + Φ)
    A, Φ ∈ R


    4c)
    Hier gehen wir wieder vor wie in b. Diesmal haben wir als Inhomogenität eine Exponentialfunktion. Wir machen einen sehr ähnlichen Ansatz nämlich:
    Inhomogenität: e^x
    --> Ansatz: y_part(x) = a e^x
    (Wäre e^x schon eine Teillösung unserer homogenen Gleichung, müssten wir hier wieder mit x^n e^x arbeiten.)

    Einsetzen und ausklammern:
    a (1 - 2 + 5) e^x = e^x
    --> a = 1/4

    --> y(x) = y_hom(x) + y_part(x) = 1/4 e^x + A e^x sin(2x + Φ)
    A, Φ ∈ R


    4d)
    Hier orientieren wir uns wieder an der Inhomogenität:
    x + e^x

    Wir haben also ein Polynom und eine Exponentialfunktion
    --> Ansatz: y_part(x) = a x + b + c e^x

    Einsetzen:
    c e^x - 2 (a + c e^x) + 5 (a x + b + c e^x) = x + e^x

    Jetzt wieder nach Potenzen sortieren und Koeffizienten vergleichen:
    (5 a) x + ( -2 a + 5 b ) + c (1 - 2 + 5) e^x = x + e^x
    --> 5 a = 1 --> a = 1/5
    --> -2 a + 5 b = 0 --> b = 2/5 a = 2/25
    --> c ( 1 - 2 + 5) = 1 --> c = 1/4

    --> y(x) = y_hom(x) + y_part(x) = 1/5 x + 2/25 + 1/4 e^x + A e^x sin(2x + Φ)
    A, Φ ∈ R
     
  4. #3 9. März 2009
    AW: Differentialgleichungen usw.

    oha vielen dank schon mal für die ausführliche antwort ;)
    BW haste schon
     
  5. #4 9. März 2009
    AW: Differentialgleichungen usw.

    Bei der 3. hast du doch 2 mal x^2 im Nenner. Das kann man doch auf einen Nenner machen. Dann bringst du das auf die rechte Seite.
    Jetzt schreibst du ja für y´ dy/dx. Dann stellst du um.

    Ich versuchs mal:
    1. y` + (y+1)/x² = 0
    2. y` = - (y+1)/x²
    3. dy/dx = - (y+1)/x²
    4. 1/(y+1) dy = 1/x² dx
    5. [INTEGRAL] 1/(y+1) dy = - [INTEGRAL] 1/x² dx
    6. Integral Lösen und ggf noch umstellen das nur y auf der linken Seite steht mit hilfe der e-fkt, da das Integral glaub ich ln(y+1) ist.


    Was mich noch interessiert. Bist du auf ner BA, FH oder Uni? Weil die Klausur sieht nicht so schwer aus ^^
     
  6. #5 9. März 2009
    AW: Differentialgleichungen usw.

    zu 5:

    x_punkt-x=8e^(-3t)

    Laplace transformierte bilden auf beiden Seiten:

    s*X(s)-X(s)=8*1/(s+3)

    bischen umformen:

    X(s)*[s-1]=8*1/(s+3)
    X(s)=8/[(s-1)*(s+3)]

    (kann das sein, dass da ein Fehler ist? die Laplacetransformierte von e^(-3t) ist 1/(s+3)

    Partialbruchzerlegung

    A/(s-1)+B/(s+3)=8/[(s-1)*(s+3)]

    ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich

    A*(s+3)+B*(s-1)=8
    s*(A+B)+(3A-B)=8

    -> A=-B

    -> 4A=8

    -> A=2

    -> B=-2

    X(s)=2/(s-1)-2/(s+3)

    Rücktransformation in den Zeitbereich

    x(t)=2*e^t-2*e^(-3t)

    irgendwo hab ich mich scheinbar vertan...ich hoffe das konnte trotzdem helfen
     

  7. Videos zum Thema
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