#1 17. Februar 2011 Hallo Eute schreibe morgen Mathe in der Uni und hab noch eine kleine Frage: Wie kann ich den Eigenwert einer Matrix A bestimmen, wenn ich 2 von 3 Eigenwerte und die Determinante von A kenne? Was bedeutet ein dreifacher Eigenwert einer 3x3 Matrix auf die Dimension? Wie kann ich bei einer 3x3 Matrix von 3 Eigenwerten auf den 4. Schließen? Vielen Dank Schon mal, ich weiß ich bin spät dran. Grüße, $$$moq + Multi-Zitat Zitieren
#2 17. Februar 2011 AW: Eigenwerte bestimmen ähm ich schreib mal eins nach dem andern mit edit, damit du merkst, dass was da los ist. Angefangen mit deiner letzen Frage, weil die am eifnachsten ist (hoff) ich.: Wenn du ne nxn Matrix hast, wirst du maximal n verschiedene eigenwerte haben, von daher gibt es keinen 4. Eigenwert bei ner 3x3 Matrix. Deine erste Frage: Meinst du die Determinante der Matrix A oder der Matrix A- lambda*1, weil diese Determinante ja das charakteristische Polynom ist, was dann ganz einfach wäre, denn dann würdest du mit Faktorisierung oder Polynomdivision auf die andere Nullstelle kommen. Ansonsten überleg ich grad: Kennst du auch die Spur der matrix? Zu deiner 2. Frage: zu jedem Eigenwert gehört ja nen Eigenvektor. Diese Eigenvektoren spannen einen raum auf. Wenn jetzt lambdai ein n-facher Eigenwert ist und die Matrix den Rang r_i hat, dann ist die Zahl linearer unabhängiger Eigenvektoren die zu lambdai gehören gleich n-ri. Und hier ist der Begriff der Vielfachheit interessant: Die Frage ist ja, wenn du die Basis bestimmst, wieviele unabhängige Eigenvektoren zu einem Eigenwert existieren. das ist die frage nach der geometrischen vielfachheit. Die Geometrische Vielfachheit ist höchstens so groß wie die algebraische Vielfachheit, und das ist die vielfachheit der Nullstelle deines charakteristischen Polynoms, also die fruchtbarkeit deines Eigenwertes. edit noch: du kannst damit auch folgendes aussagen: wenn lambda der Eigenwert deiner nxn Matrix ist, also nullstelle deines chr. polynoms det(A-lmbda*1) ist, dann sagst du m_lambda ist die algebraische vielfachheit des Eigenwertes. Die dimension d_lambda des Eigenraumes V_lambda (zum Eigenwert lambda) heit geometrische Vielfachheit. nun gilt wie ich sagte d kleiner gleich m. die summe über m_lambda ist n, und außerdem gilt, dass d= n- rg(A-lambda*1). Mehr fällt mir nicht zu den Dimensionen ein, aber ich denke damit ist auch alles gesagt. + Multi-Zitat Zitieren