#1 1. Juli 2009 Hey Leute, rein formell weiß ich wie man Eigenwerte einer Matrix und damit auch die Eigenvektoren bestimmen kann. Leider bin ich mit der geometrischen Deutung noch nicht so sicher. Ist es so, dass ein Eigenvektor einer Matrix, multipliziert mit der Matrix selber wieder einen zu der Matrix kollinearen Vektor bildet, oder habe ich da was falsch verstanden ? Und wozu braucht man das überhaupt ? Ich weiß nur, dass die Summe aller Eigenwerte die Spur und das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante der Matrix ist. Vielen Dank ! + Multi-Zitat Zitieren
#2 1. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen gebraucht wird das unter anderem in der quantenmechanik, da dort im prinzip fast alles auf eigenwertproblemen beruht. zudem lassen sich mit der slater-determinante relativ schnell und einfach wellenfunktionen bestimmen, welche den pauli-regeln unterliegen und zu einer assymetrischen wellenfunktion führen. bei den anderen fragen hab ich gerade keine ahnung mit anschaulichen darstellungen hab ichs nich so + Multi-Zitat Zitieren
#3 1. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen @Vince gemeldet.... @popostecher alles klaro, das verstehe ich dann.... Die Geometrische Deutung interessiert mich trotzdem noch bzw. was für besonderheiten zwischen Eigenvektoren , Eigenvektoren und Matrix entstehen, bezüglich Multiplikation, Addition, etc. + Multi-Zitat Zitieren
#4 2. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen also, wenn du nen eigenvektor und den dazugehörigen eigenwert einer matrix hast, kannst du darüber folgendes aussagen: M*ev=ew*ev also die matrix multipliziert mit ihrem eigenvektor ist gleich dem eigenvektor multipliziert mit seinem eigenwert. geometrisch ganz anschaulich, weil wenn du die matrix mit ihrem eigenvektor multiplizierst kommt immer ein vielfaches des eigenvektors raus, der die selbe richtung hat. ich glaube darüber konnte man noch irgend eine aussage über das bild der matrix treffen, aber das weiß ich nicht mehr. wozu man das unter anderem braucht ist die lösung für differentialgleichungen über das anfangswert problem (evtl. auch differentialgleichungen allgemein, aber da kenn ich mich noch nicht aus). an sich macht man genau dafür ja nen großteil der linearen algebra. mfG edit: mir das mit dem bild eingefallen: wenn du nen eigenwert 0 hast, dann is die det(A)=0, was bedeutet, dass die dim(Kern(A))>0 , da die spalten- und zeilen vektoren teilweise linear abhängig sind. damit ist dim(A)>dim(Bild(A)) + Multi-Zitat Zitieren
#5 2. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen Drehugen und Spiegelungen kannst du durch Matrizen, sogar unitäre Matrizen, darstellen. Dabei sind Eigenwerte immer Vektoren, die unter dieser Transformation nicht ihre Richtung ändern. Bei der Drehung ist das z.B. die Drehachse. Mit EW 1 Bei Spiegelung sind es alle Vektoren in der Spiegelebene. Diese werden ja nicht verändert und haben folglich Eigenwerte (EW) 1. Und der Vektor senkrecht zu Spiegelebene ist ein Eigenvektor mit EW -1, der wird ja gerade "umgeklappt". + Multi-Zitat Zitieren
#6 7. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen Vielen Dank. Was ich verstanden habe: Eigenvektoren sind zu ihrem Vektoren, aus dem sie gebildet worden sind, kollinear und haben eine unterschiedliche Länge. Diese Vielfache der Ursprungslänge bezeichnet man als Eigenwert. Aber was ist denn überhaupt der Vektor, aus dem der Eigenvektor gebildet worden ist, bzw. zu dem der Eigenvektor dann kollinear ist. Die Matrix ansich ist ja kein Vektor, den man sich z.B. im Dreidimensionalen vorstellen kann, oder ? MFG.... + Multi-Zitat Zitieren
#7 7. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen das ist noch nicht ganz richtig. ich glaube du hast das falsch verstanden. ein eigenvektor stammt nicht von einem anderen vektor ab oder so. Ein eigenvektor gehört IMMER zu einem BESTIMMTEN eigenwert. und hat man ein solches paar gefunden, dann kann man sich überlegen, dass alle vielfachen dieses vektors EBENFALLS Vektoren zum SELBEN eigenwert sind. (das ist der grund warum das gleichungssystem, mit dem man diese eigenvektoren sucht immer unendlichviele lösungen hat, da jedes vielfache eines eigenvektors auch wieder eigenvektor zum selben eigenwert ist). das ist eigentlich ales was man erstmal wissen muss. außerdem ist noch interessant was Sp4de geschrieben hat, nämich das die determinante einer Abbildung mit eigenwert 0 AUCH gleich 0 ist. Man kann dann auf einen schlag ne menge aussagen über diese abbildung machen (bzgl injektivität usw)... + Multi-Zitat Zitieren
#8 7. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen Zu deinem letzten Satz: Ich hab immer gelesen, dass ein Einheitsvektor ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist. Tritt das nicht zu deiner Aussage in Konflikt ? Und jetzt habe ich zwar verstanden, was Eigenvektoren sind, wie du es erklärt hast, aber noch nicht, was die denn nun mit der Matrix zu schaffen haben. Ist es so , dass nur diese Eigenvektoren beim Produkt Matrix*Eigenvektor wieder ein vielfaches des Eigenvektors ergeben, und zwar das Eigenwert-fache ? + Multi-Zitat Zitieren
#9 7. Juli 2009 AW: Eigenwerte Matritzen Du meinst sicher Eigenvektor. Das ist richtig: Der nullvektor ist KEIN eigenvektor. das macht auch nicht viel sinn, da eine lineare abbildung den nullvektor ja immer auf den nullvektor der bildmenge abbilden muss und zum nullvektor würde dann jede reelle zahl ein eigenwert sein. (denn irgendwas mit null mal genommen bleibt ja null) Das heißt aber nicht, dass 0 nicht eigenWERT sein darf! mach dir das nicht zu kompliziert. eigenvektoren sind nur insofern etwas besonderes, als dass sie die Abbildung (also die matrix) ersetzen. also man kann die matrizen multiplikation durch diese skalare multiplikation ersetzen. das ist erstmal die einzige grundlegende sache (was das geometrich bedeutet kann man sich leicht erklären: ein eigenvektor wird durch die abbildung einfach nur skaliert, also gestreckt bzw. gestaucht) daraus kann man nun verschiedene überlegungen ableiten, die in vielen verschiedenen anwendungen zum einsatz kommen. hier wurden schon einige genannt. z.B. das lösen von differential gleichungen (auch wenns hier wirklich nur bei den einfachsten der einfachsten geht^^ nämlich nur implizite, homogene DGL). + Multi-Zitat Zitieren
#10 7. Juli 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: Eigenwerte Matritzen ja so kann man es sagen, das sagt ja genau die Eigenwertgleichung aus: {img-src: http://sciencesoft.at/lpng/111deadfdec9ffbd61ca40f512235347d8d7ee9.png&size=100} + Multi-Zitat Zitieren