Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von ttrottell, 24. August 2011 .

  1. Diese Seite verwendet Cookies. Wenn du dich weiterhin auf dieser Seite aufhältst, akzeptierst du unseren Einsatz von Cookies. Weitere Informationen
  1. #1 24. August 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    Servus.

    Ich häng mal wieder in Mathe...
    Vorn paar wochen habt ihr mir erklärt wie man grenzwerte von reihen bestimmt. dies hat auch alles geklappt (danke nochmal :)) aber jetzt gehts richtig prüfung und es wird ein klein wenig schwerer.

    Bei folgenden aufgaben komm ich einfach nicht auf einen grünen Zweig:

    [​IMG]

    gerade bei den Folgen steh ich noch am Anfang...

    Ich muss ja eigentlich wissen:
    Wie weiß ich konvergenz bei Folgen, Funktionen und Reihen nach.

    Bei Folgen: kp
    Bei Funktionen: Einfach Lim gegen den gewünschten grenzwert laufen lassen und schauen was passiert. wenn 0/0 oder unendlich/unendlich raus kommt l'Hospital.
    Bei Reihen: Wurzelkrit., Quotientenkrit, Leibnitzkrit., und Majo/Minorantenkrit.

    Problem ist jetzt, dass ich sehr oft bei Wurzel und Quotientenkriterium was = 1 rausbekomme und das hilft ja nunmal nicht weiter.

    Kann mir da einer weiterhelfen?

    z.b. bei den Funktonen die f) wie kann hier

    {bild-down: http://www2.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP118319h10g3929h9g1ia000059a4f31ege7gfe32?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=156&h=31}
    rauskommen?!

    ich kann ja einfach mal 0+ reinsetzen und es sollte doch dann (1+1/2-1/2)^(1/"0+") rauskommen. das ist (1+0)^(1/"0+") -> 1^(1/"0+") und 1 hoch irgendwas gibt ja immer 1. jetzt kommt da aber e raus?!?
     

  2. Anzeige
    Heute: Deals & Sale mit stark reduzierten Angeboten finden.
  3. #2 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    OK, fangen wir mal bei den Folgen an.
    Da ist zunächst einmal wichtig, dass du so Sachen weißt wie 1/n geht gegen Null, dann natürlich auch Vielfache & Potenzen davon, das kann man oft nutzen & bei den Wurzel-Sachen kann man z.B. Wissen das n-te Wurzeln aus a (a > 1) bzw. n-te Wurzeln aus n für n gegen Unendlich gegen 1 gehen.
    Bei den Brüchen ist immer das 1. Mittel der Wahl: höchsten Exponenten Ausklammern & kürzen, dann geht das meiste gegen 0 & man sieht den Grenzwert oder die Folge divergiert eben.

    Aber es gibt wenigstens ein gutes Kriterium mit dem man die Konvergenz von Folgen zeigen kann, ich nenne das immer Monotoniekriterium: Jede monotone beschränkte Folge konvergiert.
    D.h. Beschränktheit nach oben & monoton steigend ODER Beschränktheit nach unten & monoton fallend überprüfen.
    Das sollte in den meisten Fällen funktionieren, dann kannst du das Kriterium anwenden um herauszufinden & du weißt: Konvergent *check*
    Allerdings kennst du noch keinen Grenzwert, aber das ist auch kein Problem, denn jetzt weiß man: lim a_n = a = lim a_{n+1}
    Also: wenn du gegen unendlich gehst, dann sind die beiden Grenzwerte gleich, jetzt noch etwas umformen (Gleichung) & schon hat man den Grenzwert herausbekommen.

    Bei den Reihen solltest du auch net vergessen (wenn bei den anderen 1 rauskommt), dass es noch sowas wie das Majoranten oder Minorantenkriterium gibt, das hilft auch oft.
    Außerdem "verstecken" die gerne so Reihen wie die Exp. / Sin / Cos etc. etwas die erkennt man, wenn man irgendwas vorzieht. Außerdem hilft da auch oft noch die geometrische Reihe.

    Brauchst du nun noch Lösung(svorschläge) für deine Aufgäbchen oder war das nur mal so allgemein gefragt!?
     
  4. #3 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Sollte schon in richtung lösungsvorschläge laufen. Allgemeint sollte ich es eigentlich können (bis auf Folgen) nur bekomm ich eben diese Beispiele nicht raus.

    Aber Ich versuch jetzt mal was du gesagt hast:

    Wenn ichs richtig gemacht habe, kann man die Folge umformen in:
    [​IMG]
    [​IMG]

    was ja eigentlich passen müsste.
    /e. reicht das so? bin mir grad net sicher, ob ich hier seh, dass das rechte immer größer gleich groß ist als das linke?!

    so, und jetzt den grenzwert suchen:
    kann ich hier jetzt einfach n von der ausgangsfolge gegen unendlich laufen lassen und schauen was raus kommt? also so?
    {bild-down: http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP196519h10gfei0b8ge7h00006479d62g4fcg7e96?MSPStoreType=image/gif&s=42&w=115&h=35}


    wenn ja, wie kommen die auf 1/e?

    /e. ah, das kann man umformen in (1-1/n)^n = 1/e

    stimmt das soweit? hättest mal lust die 2. folge zu rechnen?
     
  5. #4 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Wenn du dein Argument von unten nutzt, brauchst du das Monotoniekriterium NICHT anwenden (ist auch hier net wirklich sauber ;), Stichwort: Beschränktheit ).

    Der Anfang ist wieder etwas wirr, aber wenn du die Folge genauso umformst & du weißt, was in deinem "edit" steht, also die Folge für e, dann reicht das. Denn du weißt, dass die Folge gegen 1/e konvergiert, brauchst also auch kein Kriterium (siehe oben) oder ähnliches draufwerfen.
     
  6. #5 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    wie du schon gesagst hast ist alles recht wirr. hättest mal lust am 2. beispiel das einmal sauber runter zu rechnen? denn da komm ich schon wieder nicht mehr weiter..
     
  7. #6 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Welches ist für dich das "2. beispiel" ? Sags dann kann ich dir helfen.
     
  8. #7 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    aufgabe b) von den folgen. sprich die nte wurzel aus 1+n+n²
     
  9. #8 24. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Da kannst du doch direkt unendlich für n einsetzen.
    ^(1/n) sprich die n-te wurzel ist da auf jeden Fall der dominante Term der viel schneller fällt als n² wächst. Also kann man ganz einfach und direkt sagen der Grenzwert ist 1.
     
  10. #9 25. August 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    also nochmal. den Grenzwert einer Folge bekomm ich, indem ich das n gegen unendlich laufen lass? Also so wie bei einer ganz normalen funktion.

    aber mir jetzt immernoch nicht ganz klar ist, wie ich diese blöde monotonie nachweiß.

    Wenn ich zb. folgende Aufgabenstellung hab:

    "Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Geben Sie zu jeder konvergenten Folge den Grenzwert an. "

    Monoton steigend: a_(n+1)>=a_n
    streng Monoton steigend: a_(n+1)>a_n
    Monoton fallend: a_(n+1)<=a_n
    steng Monoton fallend: a_(n+1)<=a_n

    muss ich das wirklich machen?

    nehmen wir mal das beispiel:

    [​IMG]

    was gilt hier?

    streng monoton fallend?
     
  11. #10 25. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Grundsätzlich ist das richtig was du geschrieben hast. Zu ergänzen ist das du Beschränktheit durch Grenzwertbildung nachweist.
    Welche Folge soll das in deinem Beispiel sein? Ich erkenne da nicht viel.
     
  12. #11 25. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    2. folge aus meinem startpost (nte wurzel aus 1+n+n²)
     
  13. #12 25. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Entweder du machst es so wie dus gesagt hast, oder du leitest ab, oder du setzt ganz primitiv einfach 2 aufeinanderfolgende Zahlen ein.
     
  14. #13 26. August 2011
    AW: Grenzwerte von (Folgen, Funktionen u. Reihen)

    Monotonie kann man gut mit Induktion zeigen, Beschränktheit ist leicht, man muss nur n^2 < 2^n benutzen, und dass die Wurzel per Definition nicht-negativ ist.
     

  15. Videos zum Thema
Die Seite wird geladen...