Herleitungsansatz der e-Zahl

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von allstar, 23. September 2010 .

  1. 23. September 2010
    da ich gerade dabei bin mein mathe-wissen für mein studium aufzufrischen, bin ich heute auch schon bei den e-funktionen angekommen.

    herleitung, eigenschaften, ableitungen etc. sind ja alle easy aber irgendwie verstehe ich eins nicht.

    der ansatz für die herleitung der e-zahl ist ja

    (1+1/n)^n

    aber woher kommt dieser ansatz? wie kommt man darauf die e-zahl ausgerechnet mit diesem ansatz herzuleiten?




    mfg allstar
     
  2. 23. September 2010
    AW: Herleitungsansatz der e-Zahl

    Die Tatsache, dass die Eulersche Zahl e so bekannt ist, ist darin begründet, dass sie an mehreren Stellen in der Mathematik auftritt und ein paar nette Eigenschaften hat. Zum Beispiel


    • ist die Stammfunktion von 1/t der natürliche Logarithmus, der e als Basis hat. Er ist also der Logarithmus mit der einfachsten Ableitung. (Bei allen anderen taucht der Faktor 1 / ln[Basis] auf).
    • Ähnlich verhält es sich bei der Exponentialfunktion. Die natürliche Exponentialfunktion e^x hat ja fast schon eine triviale Ableitung, im Gegensatz zu Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a^x. (bei denen der Faktor ln[a] auftaucht)
    • Taucht e als wichtiger Grenzwert beim Zinseszins auf, siehe Eulersche_Zahl#Zinseszinsrechnung

    Das sind so Anwendungen, die dir was sagen solltest, es gibt noch unzählige mehr

    Und aus all diesen Eigenschaften kann man nun Formeln finden, wie man e bestimmen kann, eine hast du ja schon angesprochen.
     
  3. 23. September 2010
    AW: Herleitungsansatz der e-Zahl

    Der Ansatz von Euler war für Banken Zinses zu berechnen.
    Für n=1 ist der Faktor für jährliche Zinsen.
    Für n=12 der Faktor für monatliche Verzinsung.
    Für n=365 der Faktor für tägliche Verzinsung.
    Für n gegen unendlich eine momentane Verzinsung, die im jedem Moment verzinst.

    Bedeutet 1 Euro für 1 Jahr zu 1% angelegt bekäme man e-Euro.
     
  4. 24. September 2010
    AW: Herleitungsansatz der e-Zahl

    oder, um zur frage der herleitung zurück zu kehren:

    e ist der grenzwert von (1+1/n)^n für n gegen unendlich. also 2,71*.

    eine weitere anwendung von e findet sich glaube ich bei der verwendung komplexer zahlen und trigonometrischer funktionen.

    mfG
     
  5. 24. September 2010
    AW: Herleitungsansatz der e-Zahl

    Genau, und zwar auf Grund der Eulerschen Identität, wonach
    e^i*pi = -1
    bzw.
    e^i*phi = cos(phi) + i*sin(phi)
    worüber sich nun ganz viele tolle Dinge machen lassen, weil hier u.a. die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen in Verbindung gebracht wird.
     
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