Inhomogene Differentialgleichung konstanten Koeffizienten

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von ttrottell, 8. August 2012 .

Schlagworte:
  1. 8. August 2012
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    Hi leute, hänge gerade ein wenig in HM3 bei folgender Aufgabe:

    Bild

    Fragen:
    Bei 1.: Wird hier nur verglichen? Sodass ich erkenne, dass µ2=1 ist?
    Bei 2.: Im Skript hab ich folgende Formel: [...]im Resonanzfall gilt.... , dann hat die Diffgl. eine partikuläre Läsung fp, der Form fp(x)=x^m s(x) e^(µx) mit einem Polynom s vom gleichen Grad d. Genau hier ist mein Problem. Wie kommen die auf fp,2(x)? Ich hätte hier fp,x(x)=x^m s(x) e^(µx) mit m=1 (einfache Nullstelle), s(x)= (ax+b) Polynom vom Grad 2 (da e^x = Grad 2 hat) und µ=1 (Aus Vergleich).
    --> fp,x(x)=x (ax+b)e^x aber das stimmt nicht, bzw die Ableitungen um die Koeffizienten zu bestimmen werden viel zu wild...


    Ich merk gerade, dass sich 2. Problem erübrigen würde, wenn ich wissen würde, was e^x als Grad hätte. Aber der ist doch nicht 0 ?!

    vll gibt's hier ja jemand, der sich mit dem Zeugs auskennt.
    Bw wäre das mindeste.
     
  2. 8. August 2012
    AW: Inhomogene Differentialgleichung konstanten Koeffizienten

    Um die partikuläre Lösung der DGL zu finden machst du einfach für jeden Summanden der "rechten Seite" einen Lösungsansatz (Stichwort Superpositionsprinzip). Der Ansatz sieht meist sehr ähnlich aus wie der Term selbst. Viele Ansätze findest du z.B. hier: Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .
    Um also einen Ansatz zum Lösen des inhomogenen e-Funktionsterms zu finden schaut man einfach in dieser Tabelle und kommt auf y_p = A*exp(c*x). Diesen Ansatz musst du nun mehrfach ableiten und entsprechend in die DGL einsetzen. Anschließend machst du einfach nen Koeffizientenvergleich.
     
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  3. 8. August 2012
    Zuletzt bearbeitet: 8. August 2012
    AW: Inhomogene Differentialgleichung konstanten Koeffizienten

    wenn du wirklich den ansatz r(x)*e^(m*x) einsetzt kommt ca folgendes raus:

    r'''*e^mx + r''*(m - 1)e^mx + r'(m² + 2m - 1)e^mx + r(m³ - m² + m - 1)e^mx = e^x

    damit im exponent das gleiche rauskommt muss m=1 sein, das sieht man. setzt man m=1 ein und kürzt e^x, kommt r''' + 2r' = 1 raus. wenn nun r(x) ein polynom ERSTEN grades ist, also ax+b (2ten grades wäre ax²+bx+c):
    r''' = 0
    r' = a

    daraus folgt 2a=1 -> a=1/2
    einsetzten in den ansatz am anfang r(x)*e^mx mit m=1 und r(x)=x/2 folgt die lösung 1/2*x*e^x.

    e^x ist übrigens ein polynom unendlichsten graden wenn man so will, denn die reihendarstellung von e^x ist summe (n von 0 bis unendlich) x^(n)/n!
    lg
     
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