Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen & Integralrechnung mit Logarithmen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von Red Panda, 11. Januar 2009 .

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  1. #1 11. Januar 2009
    Kann jemand hier sehr gut Mathe?
    Wäre toll wenn jmd ne Musterlösung hätte für:


    1) f(x) = x/7+x

    2) f(x) = 4x/x²-9

    3) f(x) = 5x²/2x²+x

    4) f(x) = 4x³-5/2x

    5) f(x) = 6x²/2x+5

    Das sind eigentlich einfache Aufgaben von nem online
    Lernportal aber das Forum dort ist down und ich krieg ne
    Krise weil das einfache Aufgaben sind und ich nie weiter
    komme sogar schon bei den Ableitungen nicht.

    Und morgen Ist ne Prüfung ;(
     

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  3. #2 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    1) f(x) = x/7+x

    Wennde das ableiten willst musst du die Quotientenregel nehmen.
    [u´(x)*v(x)-v´(x)*u(x)] / v(x)²

    also im Zähler: u(x) ; im Nenner: v(x)
    f(x)= (1* (7+x) - 1* x) / (7+x)²
    = (7+x -x)/ (7+x)²
    = 7 / (7+x)²

    So gehen die alle. Gibt Regeln beim ableiten: Quotientenregel und Produktregel
    Hasch jez verstanden? :D

    edit: Musste auch noch die Fkt. auf Nst./Exremwerte usw. untersuchen? Hab jez nur mal die Abl. gemacht.

    Ich mach mal mit der Kurvendiskussion weiter:

    1. Nullstellen

    Nst. bei gebr. rat. Fkt. sind wenn der Zähler null wird.
    An Bsp. 1.) f(x)=x
    Diese Ftk. wird für x=0 null
    Somit ist die Nst x1=0

    2. Definitionslücken

    D.h. x-Werte für die die Fkt. nicht definiert ist.
    f(x)=7+x Wenn der Nenner 0 wird ist die Fkt. nicht definiert an der Stelle x, da man ja bekanntlicher weise nicht durch 0 teilen kann (=
    Für x=-7 ist die Fkt. nicht definiert. Man nennt sie somit POLSTELLE.
    Es gibt auch behebbare Dft.lücken.
    Das ist dann eine, wenn die Nst. des Nenners gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist.
    In der zeichnung macht man einfach nen kleines Quadrat um diese "behebbare Definitionslücke"

    3.Extremstellen

    Hierzu wird die 1. Ablt. benötigt.
    Wenn f´(x0)=0 dann heisst das, das in der Fkt. die Steigung an der Stelle x0 null ist.
    Das heisst dort is die Steigungsgerade ne waagr. Tangente.
    Wenn also nun f(x0)=0 ist, dann kann dort ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt(das ist ein spez. Wendepunkt) sein.
    Wenn dort nen HP ist dann gilt: f´´(x0)<0 und 1. Ablt=0
    Wenn dort nen TP ist dann gilt: f´´(x0)>0 und 1. Ablt=0


    4. Wendestellen:

    f´´(x0)=0 und f´´´(x0) ist ungleich 0
    hierbei gilt: wenn f´´´(x0)<0 Wendestelle mit Übergang in Rechtskrümmung
    wenn f´´´(x0)>0 Wendestelle mit Übergang in Linkskrümmung

    Wenn dort nen Sattelpunkt ist dann gilt: f´(x0)=0 und f´´(x0)=0 und f´´´(x0) ist ungleich 0

    5. Verhalten der Fkt. für x gegen Unendlich (waagrechte Asymptote)

    Hierfür kannst du kurz: lim für x-->+/-Unendlich von f(x) schreiben
    Wenn der lim gegen eine Zahl h konvergiert dann ist y=h die waagr. Asymptote

    An Bsp. 1.) f(x)= x/(7+x)
    konvergiert für x-->+Unendlich gegen 1
    y=1
    konvergiert für x-->-Unendlich gegen 1
    y=1

    6. Senkrechte Asymptote

    Das is praktisch grad umgekehrt. Bei 5. konvergiert die Fkt. für x gegen Unendlich gegen eine
    reele Zahl.Das ist dann die waagr. Asymptote.
    Hier konvergiert nun die Fkt beim Annähern an eine Zahl t gegen +/- Unendlich.
    Konkret: Diese Zahl t ist die Polstelle.
    Die Fkt. erreicht nie diese Polstelle t, sie konvergiert gegen sie.
    Man schreibt das so: lim für x-->+/-t --> +/- Unendlich
    Die senkr. Asymptote in Bsp.1.) ist somit x=-7

    7. Symetrie

    Achsensymetrisch zur Y-Achse wenn f(x)=f(-x)
    Punktsymetrisch zum Ursprung wenn -f(x)=f(-x)

    Ich glaube das war nun alles was mir zum Thema Kurvendiskussion einfällt.
    Falls ich was vergessen haben sollte, dir was unklar ist oder sonst was melde dich.

    Greez Doug
     
  4. #3 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    willst du, dass dir jemand jede einzelne Aufabe vorrechnet?

    allgemeine solltest du diese Schrittfolge bei einer Kurvendiskussion beachten.
    - Aufschreiben der Ausgangsgleichung
    - Ermittlung der ersten + zweiten + dritten Abletung, und notieren dieser Gleichungen
    - Wertebereich(für x) + Definitionsbereich(für y) der Ausgagsgleichung angeben (also welche Werte können x und y annehmen, gibt es z.B. Lücken)
    - Evtl. den Grenzwert der Funktion angeben: Limes von f(x) von x gegen unendlich und -unendlich
    - Nullstellen der Funktion ( f(x)=0 dann nach x umstellen)
    - Schnittpunkt mit y-Achse ( f(0)=y )
    - ist die Funktion irgendwie symmetrisch (Symmetrisch zum Ursprung oder Symmetrisch zur y-Achse)
    - Extrempunkte berechnen mit Hilfe der ersten Ableitung ( f ' (xe)=0 ), Art der Extrempunkte (Maximum: f ' ' (xe)<0 oder Minimum: f ' ' (xe)>0 )

    - Wendepunkte berechnen mit Hilfe der zweiten Ableitung ( f ' ' (xw)=0, nachprüfen ob Wendepunkt: f ' ' ' (xw) \= 0)

    Das sollte es gewesen sein. War schon etwas her, als ich die letzte Kurvendiskussion gemacht habe.
    Wenn du noch Fragen hast, dann frag einfach.

    Gruß

    EDIT: was mir meistens sehr geholfen hat war, dass ich mir eine Skizze des Graphens gemacht habe. So hatte ich die Funktion immer voraugen und es war leichter die erechneten Werte zu verstehen und zu deuten.
     
  5. #4 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Doug, ich bedanke mich im Voraus schon für deinen Einsatz und dein Engagement.

    Im Gegenzug kann ich dir nicht viel bieten, aber du hast inzwischen wahrscheinlich schon BWs von paar Bekannten von mir hier bei RR & sobald ich wieder bewerten kann kriegst von mir auch noch welche. Checker, du hast auch ne BW.

    Ich geh das alles schonmal soweit durch soweit es vorhanden ist Thx :)

    Edit: 2te Ableitung

    f´(x) = 7 / (7+x)²

    f´´(x) = [(0)*(7+x)] - [(7)*(7+x)²] / (7+x)^4
    f´´(x) = 7*(7+x)² / (7+x)^4 ||| Kürzen Zähler mit Nenner ???
    f´´(x) = 7 / (7+x)²

    Des würd bei mir rauskommen, aber ist des richtig?
     
  6. #5 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    1. Abl : f(x)= 7/ (7+x)²
    2. Abl : f(x)= (-98-14x)/ (7+x)^4

    Dein Fehler liegt hier: (7+x)² wenn du das ableitest musst du die Kettenregel anwenden
    d.h. äußere mal innere Abl. = 2*(7+x) * 1

    @Red Panda: Es heisst doch aber u * v´
    also: 7* (14 +2x)

    Und bei dem Bild: Das ist genau das Prinzip, wie man bei solchen Fkt vorgeht.
    Man hat ne Klammer. In der Klammer is ne Funktion. Die Klammer ist aber hoch 2 bei diesem Beispiel jetzt. Regel: Äußere Abl. * Innere Abl.
    Äußere Fkt: 1*(blaaa)² was da drin steht is wurscht
    Innere Fkt: (x³+x)
    Leit beides ab und multiplizier es miteinander und es kommt das raus was rechts neben dran steht.
     
  7. #6 11. Januar 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Aso aber dann müsste doch rauskommen 14 +2x (wenn ich das zusammenrechne 2*(7+x)*1) und nich (-98-14x) oder?


    Und hier - bei dem Bild versteh ich die Ableitung ned ^^
    [​IMG]

    Ich würde da als Ergebnis des rausbringen: (6x²+1)*(x³+x)
     
  8. #7 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Du kannst das nach der Kettenregel berechnen, außerdem hast du ja genau das gleiche, du hast die Rechte Klammer des Bildes nur mit der vorgezogegen 2 mutlipliziert und dabei die 1 vergessen, ansonsten passt das perfekt.

    Ansonsten kannst du auch die Produktregel benutzen.
     
  9. #8 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    OH okay stimt, danke - jetzt seh ich es auch ^^

    Zu meiner Frage davor nochmal
    Was is nun damit, da blick ich noch ned durch ^^
     
  10. #9 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Ja, da stimmt deine Rechnung auch, aber du vergisst dass im Zähler schon eine 7 steht, wenn du das wieder reinmultipliziert, stimmts auch wieder. [Und weils im Nenner ist, ist der Exponent -2, so kommt das Minus da rein.]
     
  11. #10 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Ich glaub ich bin ein hoffnungsloser Fall .... also zwei weitere Fragen (immer noch zur Ableitung)

    f(x) = 4x^3-x / 4x^2-x^5

    f´(x) = [(4x^3-x) - (8x-5x^4)] - [(12x^2 - 1) - (4x^2 - x^5)] / (4x^2-x^5)^2
    f´(x) = 32x^4 - 20x^7 - -8x^2 + 5x^5 -48x^4 - 12x^7 - 4x^2 + x^5 / (4x^2-x^5)^2

    f´(x) = -8x^7 + 4x^5 - 16x^4 - 4x^2 / (4x^2-x^5)^2


    Frage 1 - Habe ich mich mit den Vorzeichen vertan? Bei der Lösung sind die im Zähler genau umgedreht oO
    Frage 2 - Ist es möglich nun den Nenner auszumultiplizieren & soweit möglich mit dem Zähler zu kürzen, oder hätte das fatale Folgen für die weitere Kurvendiskussion?
     
  12. #11 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Das liegt daran dass dein Zähler exakt gegengesetzte Vorzeichen hat. Bei der Quotientenregel musst du erst den Zähler ableiten und dann den Nenner, wenn du also:

    h(x) = f(x) / g(x) hast, ist h'(x) = f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)

    bei dir ist es im Moment genau umgekehrt, deswegen das mit den Vorzeichen. Bei dir sind außerdem ziemliche viele Minusse wo eigentlich mal-Zeichen sein sollten (auch wenn du richtig gerechnet hast). Und kürzen kannst du in der Regel, musst nur so Sachen wie Defintionsbereiche vorher definieren, Beispiel:
    Bei x²/x darf x nicht 0 sein, wenn du es zu x kürzt, darf x noch immer nicht 0 annehmen.
     
  13. #12 11. Januar 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Aha okay cool, dass man da ne bestimmte Reihenfolge bei der Quotientenregel einhalten muss, wusste ich nicht - thx :)

    Zu dem zweiten: Also besser nix kürzen nud alles sos lassen wie es ist, dann bni ich auf der sicheren Seite oder?


    [​IMG]

    Wie berechne ich bei dem Integral nun die Fläche?

    Meine Variante wäre: Das Integral mit der oberen Funktion berechnen, dann das Integral als Betrag mit der unetren Funktion berechnen nud dann beides addieren

    In der Lösung steht: Man soll erst die untere Funktion von der oberen abziehen und dann mit der daraus enstandenen Funktion integrieren, aber das verwirrt mich und ich weis nicht wieso das klappen könnte.



    Edit: So bin jetz duschen & in ner halben Stunde back =)
     
  14. #13 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Weil du aus f(x)-g(x) eine neue Differenzfunktion d(x) bildest. Die Fläche unter der Differenzfunktion entspricht der Fläche aus den beiden Funktionen, weil d(x) Funktionswerte der Differenz f(x) -g(x) hat...ist irgendwie blöd zu erklären.
     
  15. #14 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Öhm - okay aber würde theoretisch meine Variante funktionieren?
    Dann würd ich des so machen, is weniger zu merken und für mich leichter.
     
  16. #15 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Merk dir einfach dass, das

    Integral von f(x) - g(x) = Fläche zwischen den beiden Graphen zwischen dem Intervall a,b
    Hier is das Intervall ja rot eingezeichnet zwischen -3 und 1
    Das ganze setzte in Betrag, da die Fläche ja postitiv sein muss.
     
  17. #16 11. Januar 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Hmmm gut also dann tu ich am besten ohne groß Überlegen nach dem Schema verfahren wie du es sagst. Heißt das, dass ich folggende Aufgabe so lösen müsste:

    [​IMG]

    Erstmal das Integral teilen, und zwar da wo sich die Graphen schneiden (in der Mitte bei (0/0).
    Dann also im linken Abschnitt die Parabelfunktion von der Polynomkurve abziehen und im zweiten Integralabschnitt die Polynomfunktion von der Parabel. Dann müsste das richtige Ergebnis rauskommen oder?

    Edit: Jetz bin ich echt duschen, könnt noch Tipps posten die ich bei der Kurvendiskussion & Intgralrechnung unbedingt beachten muss wenn euch was einfällt bis gleich
     
  18. #17 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Theoretisch ja, aber du musst da immer aufpassen welche oberhalb der x-Achse, welche unterhalb, vlt liegen beide drüber oder beide drunter. Deswegen macht man es nicht so.
     
  19. #18 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Hmm gibt halt son paar Regeln die de dir durchlesen solltest.
    Falls du ne Klausur schreibst gibz aber ja auch ne Formalsammlung ;)
     
  20. #19 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen

    Nene das mit der Formelsammlung ist keine so gute Idee xD
    Hab meine schon verkauft weil ich letztes Jahr während der
    Klausur da irgendein interessantes Thema drin gefunden hab
    des ich dann fast ne Viertelstunde gelesen hab bis ich dann
    voll im Schock geistig wieder zur Klausur zurück bin =)

    Edit: OH ja und jetzt das allerwichtigste

    Ich check nix mit Logarithmen und die Kurvendiskussion die wir morgen machen besteht z.T. auch daraus :(

    Ich weiß halt, dass ein Logarithmus die Umkehrung zur Exponentialfunktion ist. Der wrid ln oder log abgekürzt glaub ich und .... wie man den aber Ableitet oder so ....... ganz blank in meinem Hirn ... bei exponentionalfunktionen ähm ... also gut gesagt ich weiß da nix - und joa guck grade auch bei google und versuch zu verstehn was in anderen Foren geschrieben wurde aber so richtig kapieren is nich. ....
     
  21. #20 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen & Integralrechnung mit Logarithmen

    Weißt du generell wasn logarithmus is?

    solltest die gesetze dazu wissen:

    ln (a*b) = ln a + ln b
    ln(a/b) = ln a - ln b
    ln (a^b) b* ln a

    Ableitung : f(x) = ln x f'(x) = 1/x

    ln bedeutet logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl = 2,71)
    lg heißt logarithmus zur Basis 10
    log b zur basis a (das a wird unten Rechts als Indize an den log geschrieben) hat ne variable Basis
     
  22. #21 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen & Integralrechnung mit Logarithmen

    Ok, ok .... mhhh die Gesetze dazu sind schon mal suuuper.

    Aber so das Generelle dazu wäre auch top
    Auch das mit Exponentialfunktionen oder so
    und auch die zusammenhänge ......

    Gucke grade bei Wikipedia aber versteh nur Bahnhof .....
     
  23. #22 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen & Integralrechnung mit Logarithmen

    hast ne PN mit ICQ NUmmer, ist einfacher als hier immer zu posten
     
  24. #23 11. Januar 2009
    AW: Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen & Integralrechnung mit Logarithmen

    Thx .... closed 8)
     

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