Mathe: Tangente an einem Extrempunkt berechnen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von iPoD.freaK, 8. Februar 2010 .

  1. 8. Februar 2010
    Moin RR,

    habe mal 'ne Frage bezüglich Mathe.

    Habe folgende, Klausurrelevante Aufgabe und hab dort die ein oder andere Frage! Die Aufgabe lautet wie folgt:

    "a) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ - 12x.
    Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Hochpunkt.
    Berechnen Sie alle Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Graphen von f.

    b) Gegeben ist die Funktion mit f(x) = x³ - ax und a € IR.
    Für welche Werte von a besitzt der Graph von f Extrempunkte?
    Bestimmen Sie für diese Werte von a die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Hochpunkt.
    Berechnen Sie alle Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Graphen von f. Was fällt auf?"

    In der Lösung steht folgendes:

    "a) H(-2 | 16); Tangentengleichung: y= 16; Schnittpunkte: H(-2 | 16), S(4 | 16)
    b) der Graph von f besitzt nur für a>0 Extrempunkte.
    Der x-Wert des rechten Schnittpunktes ist das (-2)-fache der Extremstelle."

    Bei der a) komm ich noch bis zur Errechnung des Hochpunktes, hab dort die selbe Lösung raus wie in den Lösungen. Komme allerdings überhaupt nicht mit der Tangentengleichung klar! Hab es schon mit dem Limes probiert, durch eine Formel zur Errechnung dieser (lediglich nur bei Parabeln, deswegen habe ich hierfür die erste Ableitung gewählt); usw.

    Bei der b) komm ich überhaupt nicht klar und bräuchte hier mal bitte eure Hilfe. Mir geht es hier mehr um den Weg, wie ich drauf komme, als um die Lösung...

    BWs gehen selbstverständlich für jede Hilfe raus!

    Danke!
    greets
     
  2. 8. Februar 2010
    AW: Mathe: Tangente an einem Extrempunkt berechnen

    zu a)

    Wenn du den Hochpunkt hast, dann ist doch alles klar. Die allgemeine Geradengleichung lautet y = m*x + t. Du weißt, dass es eine waagerechte Tangente ist (sie liegt ja schließlich im Extrema)..damit ist m (die Steigung der Geraden 0). D.h. deine Formel lautet schon mal nur noch y = 0*x + t = t. Für y setzt du jetzt 16 ein, da du weißt, dass die Gerade durch den Punkt (-2|16) geht -> 16 = t

    Daraus folgt für deine Geradengleichung y = t = 16.

    Die Schnittpunkte erhälst du indem du Funktion und Geradengleichung gleichsetzt.

    -> 1) y = 16
    -> 2) f(x) = x³ - 12x

    --> 16 = x³ - 12x

    Das musste nach x auflösen und erhälst die x-Werte der Schnittpunkte. Setz die in die Funktionslgeichung ein und du erhälst die Schnittpunkte.

    zu b)

    Damit eine Funktion Extrempunkte hat muss ihre Ableitung eine Nullstelle haben. D.h. du musst die Funktion ableiten:

    f(x) = x³ - ax
    f'(x) = 3x² - a

    Das setzt du jetzt gleich 0

    0 = 3x² -a
    --> a = 3x²

    Für die gegebene Funktion folgt mit a=3x²:

    f(x) = x³-3x² * x = -2x³

    Das ist deine neue Funktion, deren Extrema und die entsprechenden waagerechten Tangenten du ermitteln musst.

    Extrema liegt bei 0 (eig. ein Plateau). Die Tangente daran hat die Gleichung y=0. Einziger Schnittpunkt ist (0|0).

    Hoffe mal, dass ich mich bei b) nicht verhauen hab
     
  3. 8. Februar 2010
    AW: Mathe: Tangente an einem Extrempunkt berechnen

    ach lol, bin ich ein vogel ey! mensch, bin bei a) gar nicht darauf gekommen, dass die Steigung der Tangente im Extremum schließlich 0 ist.... Danke dir!

    Inder Lösung steht zu b) zusätzlich folgendes:
    H(-[(wurzel3 wurzel a) / 3] | (2wurzel3a wurzel a) / 9); Tangentengleichung: y = (2wurzel3a wurzel a) / 9

    Ansonsten klingt deins aber auch relativ plausibel, BW ist raus!
     
  4. 8. Februar 2010
    AW: Mathe: Tangente an einem Extrempunkt berechnen

    Hm..in der Lösung ausm wurde das ganze allgemeiner gemacht, als ich's versucht hab.

    Wenn man sich f'(x) = 3x² - a anschaut sieht man ja, dass a nicht negativ sein darf, da man sonst nicht mehr auf f'(x) = 0 kommen darf. Mit der Erkenntnis haben die weitergerechnet..ich hab da ein Extrema zusammengeschustert

    So müssts gehen:

    f'(x) = 3x² - a -> das muss 0 sein

    --> 3x² - a = 0
    --> x = Wurzel(a/3) (das ist der x-Wert des Schnittpunktes)

    Für den y-Wert setzt du das in f(x) = x³-ax ein. Damit haste den Schnittpunkt. Die Tangente bekommste dann wie in a).
     
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