#1 7. Juli 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 Hi Leute, leider habe ich noch einige Schwierigkeiten mit Mehrfachintegralen. Nehmen wir mal beispielsweise dieses als Beispiel. Wie ich es löse ist mir klar. Doch woher weiß, was für ein n-Dimensionales Gebilde entsteht, wenn ich ein solches Dreifachintegral löse ? Genau das gleiche hier: MFG + Multi-Zitat Zitieren
#2 7. Juli 2009 AW: Mehrfachintegrale uups bedankt^^ was meinst du genau, was da für ein gebilde entsteht?? also das erste integral grafisch darstellen wird ziemlich schwer... du kannst es dir z.B. so vorstellen (also bei deinem ersten beispiel), dass du z.B. einen Körper hast (R³) und die funktion eine dichte funktion ist, mit der du dann z.B. die masse des körpers ausrechnen kannst (also über dieses mehrfachintegral). das kommt ganz auf die anwendung an. das 2. beispiel kann man sich grafisch gut veranschaulichen. du hast eine reellwertige funktion (R² -> R) die eine fläche im raum darstellt. nun ist es so, dass du deinen definitionsbereich (also ein stück fläche in der x-y ebene durch die integrationsgrenzen einschränkst und dann z.B. das Volumen des Körpers ausrechnen kannst, der auf der x-y-ebene steht und als deckfläche genu den funktionsgraphen hat. ist ein bisschen schwer darüber zu reden... falls meine erklärungen nicht deutlich waren,knn ich es nochmal anhand eines kleinen beispiels versuchen (mit bildern =P)... + Multi-Zitat Zitieren
#3 7. Juli 2009 AW: Mehrfachintegrale Puh ja, ist schon schwer zu verstehen. Mein Mathe Prof sagte, dass beim ersten Integral ein 4-Dimensionaler Körper entsteht, also ein Hypervolumen ausgerechnet wird. Das zweite hast du recht ähnlich erklärt wie er. Es gibt doch aber auch 3-fach Integrale, bei denen normale Volumen enstehen. Es wird doch also von der inneren Funktion und den Grenzen abhängen, was ensteht, oder ? Hoffe meine Frage sind klar, ist echt nicht son einfaches Thema... + Multi-Zitat Zitieren
#4 7. Juli 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 15. April 2017 AW: Mehrfachintegrale richtig, das erste hat vier dimensionen (deshalb ist es ja auch so schwierig sowas grafisch darzustellen, weil wir ja nur 3 achsen haben). Und es hat NICHTS mit volumen zu tun. bevor man darüber nachdenkt sollte man erstmal eine dimesion "runterschalten" und sich das veranschaulichen... so schwer ist das garnicht! ich versuch dir mal zu zeigen was ich meine: {img-src: //www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/5/382_bild3.jpg} das hier ist z.B. eine solche funktion wie dein 2. beispiel. sie stellt (wie gesagt) eine fläche im raum dar. und zwar liegt diese fläche über der x-y-ebene. genau soweit muss man sich das erstmal vorstellen können... wenn man das dann hat, dann schneidet man sich ein stück fläche aus der x-y-ebene heraus und stellt sich vor, das man den graph der funktion (also die deckfläche oben) mitherausschneidet und man hat einen körper. so ne art prisma. so wie auf dem bild oben. wenn man nun das volumen dieses körpers berechnen will, dann überlegt man sich, wie man die fläche in der x-y-ebene einschränken kann. (am einfachsten sind immer rechtecke, da man dann einfach abschnitte auf der x- und y-achse wählt, so wies auf dem bild oben auch gemacht wurde). man schränkt jetzt also seine fläche in der x-yebene ein (zb. sagt man 0 <= x <= 10 und 0 <= y <= 10). Dieser bereich (oder besser: Menge) wurde oben im bild mit R bezeichnet. über diese fläche kann man nun integrieren und berechnet so das volumen dieses "prismas". dabei wird die Grundfläche durch die integrationsgrenzen beschränkt und die höhe halt genau durch die Funktion des Graphen. Auf dem Bild was ich oben verlinkt habe ist das auch ganz schön gezeigt, wie man sich so ein kleines stückchen graph herausschneidet. wenn man diese stückchen unendlich klein macht (grenzwert-bildung) dann kommt man genau auf dieses doppelte mehrfah integral... + Multi-Zitat Zitieren
#5 7. Juli 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: Mehrfachintegrale Ich glaube jetzt habe ich es. Hätte ich jetzt z.B. ein dreifach Integral, wo die innere Funktion nicht sowas wie x*y ist, sondern nur ein konstanter Punkt, oder es einfach keine innere Funktion gibt, dann ensteht auch nur ein 3-Dimensionaler Körper. Das heißt, wenn die innere Funktion wie in deinem Beispiel schon so eine art "prisma" ist, dann brauche ich ja nur zweimal integrieren, klar. Ist die innere Funktion nur ein Punkt und keine Funktion, dann muss ich drei mal Integrieren ? Wie können denn innere Funktion aussehen, bei denen ich dann ein dreifachintegral lösen müsste, um auf das 3-Dimensionale Volumen zu kommen. BEISPIEL: MFG + Multi-Zitat Zitieren
#6 7. Juli 2009 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: Mehrfachintegrale stop, stop, stop^^ also ein dreifachintegral hat NICHTS MEHR MIT VOLUMENBERECHNUNG ZU TUN! den denkfehler machen viele, weil sie bei der zhl 3 immer gleich an körper denken. bei einem 3-fach integral ghast du aber 4 dimensionen! das hat nichts mehr mit dem volumn zu tun, das kannst du dir graphisch überhaupt nicht mehr vorstellen. Also um das nochmal klar zu machen: wenn du eine Funktion mit 2 veränderlichen hast, dann stellt das eine fläche im raum dar. wenn du nun über der x-y-ebene integriest dann hast du ein volumen. Wenn du eine Funktion mit 3 veränderlichen hast, dann hat das nichts mehr mit volumen zu tun! stell dir vor du hast einen großen körper der nicht homogen ist! (also er hat überall eine verschiedene dichte). Wenn du dich nun durch diesen körper bewegst, dann wird deine position durch 3 koordinaten beschrieben (x,y,z). Soweit erstmal vorstellen, du bewegst dich durch diesen körper, deshalb 3 veränderliche. Die Funktion die du jetzt hast (also die Funktion, die von diesen 3 Variablen, die deine Position beschreiben) könnte nun z.B. deine Dichte beschreiben. Das heißt wenn du deine Position (x,y,z) in diese Funktion einsetzt bekommst du genau die die dichte des körpers an deiner stelle heraus. Nun zum Integral: wenn du jetzt anfängst dir ein teil aus diesem körper hgerauszuschneiden (also einen schnitt in x- in y- und in z- richtung machst) also z.B. einen quaderförmigen klotz, dann hat dieser klotz ja ein gewicht (in deinem beispiel da oben hätte der klotz die maße: 5 in z-richtung (6-1), 1 in y-richtung und 5 in x-richtung). um dieses gewicht zu bestimmt integriest du deine dichte funktion genau über diese schnitte (also die seitenlängen die dein klotz halt) und kommst so auf die masse des klotzes. also ein 3-fach integral könnte z.B. die masse eines Körpers darstellen. Was natürlich richtig ist (und vielleicht meintst du das): Wenn du nun diese Funktion konstant 1 wählst (das würde dann heißen, dass man überall die konstante dichte 1 hat), dann kommt man natürlich genau auf das Volumen, weil dann ja masse = volumen ist (bei dichte = 1). Das ist aber ein sehr spezieller fall!!!!! // edit: ganz grundsätzlich sollte man sich sowieso davon lösen, das man mit mehrfachintegralen immer irgendwas mit volumen berechnet. in Analysis 1 war ja auch schon immer die Rede davon (hauptsächlich in der schule) dass man immer irgendwelche flächen unter kurven berechnet. Es muss nicht immer um Flächen bzw. Volumen gehen! Das hängt von der Anwendung ab! Man redet nur meistens immer davon, weils halt die einfache geometrische deutung ist... + Multi-Zitat Zitieren
#7 7. Juli 2009 AW: Mehrfachintegrale Ja genau, ich glaube damit hat sich das erledigt, danke für die viele Mühe + Multi-Zitat Zitieren