Potential eines Vektorfeldes bestimmen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von ttrottell, 18. Juli 2011 .

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  1. #1 18. Juli 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    hey,
    da hier in mathe doch einige sehr fit sind mal wieder eine frage an euch, da ich nicht weiter komm und sowohl skript als auch inet mehr verwirren als sie klarheit schaffen..

    Es geht um folgendes Aufgabe:

    [​IMG]

    So, zuerst schau ich doch, ob meine Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. (was hier ist)
    es gilt:
    (g1)y=(g2)x,
    (g1)z=(g3)x,
    (g2)z=(g3)y

    (g1) ist ja zb. hier: y²sin(xy). (g1)y ist also g1 nach y abgeleitet. usw. Passt hier.
    Jetzt gehts mit den Problemchen los. Nun Habe ich doch grad U = g. also Ux(x,y,z)=g1(x,y,z)= y cos (xy). Diesen Teil integriere ich jetzt nach x. Wobei ich -ycos(xy) erhalten.

    Jetzt hab ich also: U(x,y,z)= -ycos(xy) + c(y,z).

    Jetzt ist meine Frage (wenn bis dahin alles gepasst haben sollte) wie komm ich auf diese c(y,z)....?!

    Wenn ich es richtig verstanden habe integrieren sie g2. allerdings nur einen gewissen teil (Welchen??) und bekommen somit cos(yz²).

    Also bin ich schon einen Tick weiter gekommen:

    U(x,y,z)= -ycos(xy) + cos(xz²) + c(z)

    Jetzt nochmal das gleiche mit g3 und integrieren nach z.

    doch genau die schritte sind mir nicht klar. was genau wird integriert, was wird nicht beachtet?!

    vll weiß ja jemand was...
     

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  3. #2 18. Juli 2011
    AW: Potential eines Vektorfeldes bestimmen

    Hab nicht viel Zeit grad. Hier die Kurzfassung.
    Du integrierst bspw. Gleichung 1. Dann hast du die Aufleitung nach x und eine Konstante, die von y & z abhängen kann. Wenn du die nach x ableitest fällt sie weg, von daher ist das ganz logisch. Jetzt musst du dein gerade berechnetes Potential nach y ableiten und gleich der 2. Gleichung, also der y-Komponente des Gradienten setzen. Schließlich muss dein Potential nach y und z abgeleitet genau deinem Gradienten entsprechen. Das ganze machst du dann noch mit der z Koordinate.

    Es ist halt ganz normales integrieren, allerdings mit variablen Konstanten, die du eben durch die Ableitung in die entsprechende Richtung bestimmst.
     
  4. #3 18. Juli 2011
    AW: Potential eines Vektorfeldes bestimmen

    Hab nicht viel Zeit grad. Hier die Kurzfassung.
    Du integrierst bspw. Gleichung 1. Dann hast du die Aufleitung nach x und eine Konstante, die von y & z abhängen kann. Wenn du die nach x ableitest fällt sie weg, von daher ist das ganz logisch. Jetzt musst du dein gerade berechnetes Potential nach y ableiten

    U(x,y,z)= -ycos(xy) + c(y,z)
    Ableiten nach y -> -cos (xy) +xysin(xy) + (d/dy) c(y)


    und gleich der 2. Gleichung, also der y-Komponente des Gradienten setzen.

    -cos (xy) +ysin(xy)+ (d/dy) c(y)= -cos(xy)+xysin(xy)-z²sin(yz²)
    _________________(d/dy) c(y)=________________-z²sin(yz²)

    Nun seh ich, dass ich -z²sin(yz²) nach y integrieren muss
    -> c(y,z)= cos(yz²) + b(z)

    Also bin ich momentan bei:
    U(x,y,z)= -ycos(xy) + cos(yz²) + b(z)

    Schließlich muss dein Potential nach y und z abgeleitet genau deinem Gradienten entsprechen.
    Das ganze machst du dann noch mit der z Koordinate.

    U(x,y,z)= -ycos(xy) + cos(yz²) + b(z)
    Ableiten nach z: -2 y z sin(y z^2) + (d/dz) b(z)

    gleich der 3. Gleichung, also der z-Komponente des Gradienten setzen:

    -2yz sin(yz²) + (d/dz) b(z) = -2yzsin(yz²)+2z
    _____________(d/dz) b(z) = 2z

    Nun seh ich, dass ich 2z nach z integrieren muss:
    -> b(z)=z²

    Somit bekomm ich am Ende:
    U(x,y,z)= -ycos(xy) + cos(yz²) + z²

    Es ist halt ganz normales integrieren, allerdings mit variablen Konstanten, die du eben durch die Ableitung in die entsprechende Richtung bestimmst.


    Besser kann manns net erklären. Vielen Dank!
     

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