Probleme mit Funktionsschar

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von Styla_Babe, 17. März 2009 .

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  1. #1 17. März 2009
    Hey Leute

    ich sitze gerade vor meinen Mthehausaufgaben und versteh kein Wort -.-
    ich habe folgendes Problem:

    Funktionsschar f k(x)= (2x+k)*e^(- x/k)

    1.) Geben Sie die Definitionsmenge an, bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen mit x- und y- Achse und untersuchen Sie das Randverhalten.
    2.) Zeigen Sie dass die Wendetangenten aller Graphen der Schar zueinander parrallel sind.

    ich sitze da jetzt schon total lange dran aber ich komme auf kein Ergebnis weil ich k und x in dieser Gleichung habe und nicht weiß wie ich damit umgehen soll.....bin für jede Hilfe dankbar BW is auch drin^^

    LG
     

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  3. #2 17. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    Okay, k kannst du dir als irgendeine reelle Zahl vorstellen, stell dich also quasi "dumm" & tu so, also ob das 2, 3, 4, etc. & dann stur NACH x ableiten und so weiter ...
    Ist k noch irgendwie eingeschränkt oder ganz R (reelle Zahlen)?!
    Definitionsbereich bedeutet ja quasi, was darfst / kannst du alles einsetzen, genauer wo befinden sich die Definitionslücken, da muss man vor allem bei rationalen Funktionen aufpassen, aber bei einer Exponentialfunktion gibt's (eigentlich) keine Probleme, wenn keine Brüche etc. vorkommen.
    Daher die Frage mit der Einschränkung von k: was passiert bzw. darf nicht passieren, wenn k = 0 ist?
    Beim Randverhalten lässt du auch einfach x gegen +/- unendlich laufen, dabei musst du aber wohl oder übel noch einige weitere Fälle betrachen, da würde ich dann irgendwie sowas wie k > 0 & k < 0 anschauen ...

    OK & bei der Wendetangenten, kommt dann eben raus, dass die Steigung der Tangenten (Ableitung der Funktion in der Stelle) gleich sind ...

    So genug Hinweise fürs Erste, schließlich willst du die Aufgabe ja auch selbst austüffteln ;)
     
  4. #3 17. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    f k(x)= (2x+k)*e^(- x/k)

    1)
    Definitionsmenge
    D=R (alle reellen Zahlen, da es hier keine Einschränkungen gibt)

    Schnittpunkte mit den Achsen
    y-Achse: f(0)=k
    x-achse: 0=(2x+k)*e^(-x/k) -> x=-k/2

    Randwertverhalten
    x -> +unendlich: fk ->0
    x -> -unendlich: fk -> -unendlich

    2)
    Steigung der Wendetangenten bestimmen:
    erste ableitung df/dx=2*e^(-x/k)-1/k*(2x+k)*e^(-x/k)
    zweite ableitung d^2f/dx^2=-4/k*e^(-x/k)+1/k^2*(2x+k)*e^(-x/k)!=0 -> x_w=3/2k

    dies in die 1. ableitung einsetzen:
    df/dx=-2*e^(-3/2)

    siehe da, haengt nicht mehr von k ab!
     
  5. #4 17. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    So nicht ganz richtig. Man muss hier nämlich zwei Fälle betrachten, wie sprayman schon angedeutet hat. Also nicht davon verwirren lassen :D. Das andere sieht aber gut aus :)

    Ich schreib mal einen Fall auf, den Rest überlasse ich dir

    k > 0, x --> -∞:

    (2x + k) > 0 --> -∞
    e^(-x/k) > 0 --> ∞

    Jetzt musst du hier sowas wie die Regel von L’Hôpital anwenden, dazu musst du den Therm in der Form g(x) / h(x) schreiben:

    fk(x) = (2 x + k) / e ^(x/k)


    h(x) = e ^(x/k) --> 0

    Das ist dann der Fall -∞/0, also anwendbar. Weiter gehts mit g'(x) / h'(x):

    lim fk(x) = lim g'(x) / h'(x) = - 2 k / e^(2x/k) = -∞ (für k > 0 und x --> -∞)
     
  6. #5 18. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    Ähh ... ist diese Aufgabe mit dem Randwertverhalten wie testitest das macht Abiturrelevant? (WG/BW) Ich hätte das nämlich genau so wie maha.rishi gemacht, wobei ich die Problematik schon verstehe. Also ich hab so eine Berechnung der Randstellen laut testitest noch nie gesehen...
     
  7. #6 18. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    ach... sowas siehst du spätestens in HM I an der uni.
    testitests vorgehen ist richtig, jedoch sollte das von maha.rishi auch gehen (unter beachtung der verschiedenen fälle!!), solange es noch in der schule gebraucht wird.

    testitest hätte euch noch gerne das verhalten über die reihendarstellung der funktion hergeleitet, hat aber wegen ner vordiplomsprüfung keine zeit ;)
     
  8. #7 19. März 2009
    AW: Probleme mit Funktionsschar

    Funktionsschar f k(x)= (2x+k)*e^(- x/k)

    1.) Geben Sie die Definitionsmenge an, bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen mit x- und y- Achse und untersuchen Sie das Randverhalten.
    2.) Zeigen Sie dass die Wendetangenten aller Graphen der Schar zueinander parrallel sind.

    Definitionsmenge: k ≠ 0 ; x ∈ R

    k > 0

    x → ∞ fk(x) → 0

    x → -∞ fk(x) → -∞

    k < 0

    x → ∞ fk(x) → ∞

    x → -∞ fk(x) → 0

    Beweisen sie ,dass rängeldängel blabla:

    fk(x)= (2x+k)*e^(- x/k)

    f'k(x)= -1/k(2x+k)*e^(- x/k)+2e^(- x/k) = e^(- x/k)*(-2x/k+1)

    f''k(x)= -1/k(-2x/k+1)*e^(- x/k)*-2/ke^(- x/k) =e^(- x/k)*(2x/k²-3/k))

    f''k(x) = 0 (notwendige Bedingung)

    0 = e^(- x/k)*(2x/k²-3/k)

    0 = 2x/k²-3/k

    2x/k² = 3/k

    x = 3k/2

    Einsetzen in f'k(x):

    f'k(3k/2) = e^(- 3k/2k)*(-2(3k/2)/k+1) = e^(- 3/2)*(-2)

    A: Somit ist die Wendetangentensteigung unabhängig von k. Das Bedeutet alle Wendetangenten sind parallel. tada.

    mfg.
     

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