Ebenenschar

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von DarkZonk, 14. März 2009 .

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  1. #1 14. März 2009
    Hi,

    folgende Aufgabe bereitet mir iwie Kopfzerbrechen... normalerweise liegt mir Vektorenrechnung eigtl.

    Gegeben ist die Ebenenschar E: (3+a)*x+2y+az=14

    Zeigen Sie, dass sich die Ebenen alle in einer einzigen Gerade k schneiden. Geben Sie k in parameterform an.

    Vielen dank!
     

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  3. #2 14. März 2009
    AW: Ebenenschar

    Kann man nicht einfach für a 2 verschiedene werte einsetzten und dann mit den Zwei Ebenen die Schnittgearde bestimmen? Klingt für mich eigentlich total logisch.
    Diese Schnittgearde ist dann die Schnittgearde aller Ebenen der Ebenenschar E!
     
  4. #3 14. März 2009
    AW: Ebenenschar

    Ja genau, du musst es so machen wie mein Vorredner:

    Du setzt einfach 2 verschiedene a ein. Nämlich a1 und a2 und löst dann die Gleichungen auf

    E_a: (3 + a) x + 2 y + a z = 14

    In Parameterform umwandeln:

    --> E_a(r, s) = {0, 7, 0} + {2, -a - 3, 0} r + {0, -a, 2} s

    Jetzt zwei diesere Ebenen mit unterschiedlichem a gleichsetzen:

    E_a1(r, s) = E_a2(t, u)

    --> 0 + 2 r + 0 = 0 + 2 t + 0 --> r = t
    --> 7 + (-a1 - 3) r - a1 s = 7 + (-a2 - r) t - a2 u --> (a2 - a1) r + (a2 - a1) s = 0
    --> 0 + 0 + 2 s = 0 + 0 + 2 u --> s = u

    --> a2 = a1 oder r = -s

    Den ersten Fall haben wir per Vorraussetzung ausgeschlossen.

    Die Geradengleichung lautet also (s = -r in E_a(r, s) einsetzen):

    k(r) = {0, 7, 0} + {2, -3, -2} r


    Die Geradengleichung muss natürlich unabhängig von a sein, sonst hat man was falsch gemacht.
     

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