Extremalwertaufgaben

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von .NeoX, 17. März 2009 .

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  1. #1 17. März 2009
    Ich habe zur Zeit das thema der Extremalwertaufgaben und dafür muss man ja immer bedingunen also nebenbedingungen und sowas erstellen
    zum beispiel hat man eine dose mit dem durchmesser 7,4 und höhe von 8,4 und soll nur bei selbem blechverbrauch also oberfläche volumen maximieren... so die meisten sachen also berechnen der oberfläche und sowas sind ja klar aber kann mir vllt jemand die aufgabe mit bedingungen und allem was dazugehört erklären bzw einfach mal rechenweg aufschreiben
    damit ich mit den bedingungen und sowas durchsteige
    wäre super und bw und ggl geht klar

    gegeben=oberfläche(fest)
    gesucht=maximales Volumen
     

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  3. #2 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    sag mal bitte genau was du willst. was ist gegeben, was ist gesucht? Ist die Oberfläche gegeben und du sollst Vmax ausrechnen oder wie?

    du brauchst am ende eine funktion und suchst ihr Maximum
     
  4. #3 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    ja oberfläche lässt sich ja aus radius also durchmesser und höhe errechnen daher isses gegeben und diese fläche muss auch bleiben also selber materialverbrauch und Vmax soll man bekommen also hochpunkt wenn man es im grafen betrachtet^^ mehr steht in der aufgabenstellung dieser aufgabe und ähnliocher auch nicht
    gegeben=oberfläche(fest)
    gesucht=maximales Volumen
     
  5. #4 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    so ich hab mal editiert, weil ich überlesen habe das die Werte Beispielsweise gelten. Du musst eine Variable eleminieren, ich meine h, damit du eine Funktion V(r) hast, davon die 1. Ableitung 0-setzen und Extrema suchen, ich rechne das mal eben aus und korrigiere mich dann.

    Wie issn das mit der Dose? oben/unten offen oder komplett zu?
     
  6. #5 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    komplett zu
     
  7. #6 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    Hab mir jetzt echt den Kopf zerbrochen, für ne Funktion A(r) bzw deren Maximum könnt ich dir alles vorrechnen, aber bei ner Funktion fürs größte Volumen bin ich mir nicht sicher. Darf ich fragen welche Klasse die Aufgabe ist? Hab aber Blut geleckt und wenn ich die Lösung finde trage ich sie nach

    meine Lösung für eine Oberfläche = 1

    V=pi*r²*h
    A=2*pi*r²+2*pi*r*h



    2*pi*r²+2*pi*r*h = 1 | :r,pi,2

    r + h = 1/(2*pi*r) | -r

    h = 1/(2*pi*r) - r

    V(r) = pi * r² * (1/(2*pi*r) - r)

    V(r) = 0,5r - pi * r³

    V'(r)= 0,5 - 3*pi*r²

    Hochpunkt bei (0,23|0,07)
     
  8. #7 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    11 klasse^^
    also man muss glaube ich die nebenbedingung so umstellen das h=... steht damit man dann in die zielfunktion pi*r^2*h den wert der in der gleichung h=... den rest reinschreiben kann aber iwie bekomme ich das nich hin^^
     
  9. #8 17. März 2009
  10. #9 17. März 2009
    AW: Extremalwertaufgaben

    Ach so schwer isses doch gar nicht. Wie du schon richtig angefangen hast, brauchen wir eine Funktion, die die Oberfläche und eine die das Volumen des Zylinders beschreibt:

    V(r, h) = G * h = Pi r² h
    F(r, h) = 2 Pi r h + 2 Pi r²

    Jetzt hast du eine da noch die Anfangsbedingungen: r = 3.7, h = 8.4
    Einsetzen in F --> F0 = F(3.7, 8.4) = 281.29820620243009

    F ist soll konstant F0 sein, deshalb können wir diese Gleichung z.B. nach h auflösen:

    h(r) = F0 / ( 2 Pi r) - r

    Dies setzen wir jetzt in V ein:

    --> V(r) = V(r, h(r)) = -Pi r³ + 1/2 F0 r

    Jetzt nur noch nach Maximum suchen:
    V'(r) = - 3 Pi r² + 1/2 F0 = 0 --> r =sqrt[ F0/( 6 Pi) ] = 3.8630730427126712
    V''(r) = -6 Pi r < 0 für r > 0

    --> HP bei r ~ 3.86 --> h ~ 7.73 --> V ~ 362
     

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