Gleichungen 3. Grades / Cardanische Formeln

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von JMP, 21. Januar 2007 .

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  1. #1 21. Januar 2007
    Hi!
    Ich schreib gerade in meiner Facharbeit (Mathe) und habe ein Problem mit den Cardanischen Formeln. Ich hab jetzt in verschiedenen Quellen verschiedene Formen dieser Formeln gefunden, aber irgendwie ist keine falsch, ich weiß nicht, welche ich jetzt nehmen soll !?!
    Ich schlag mich jetzt schon bestimmt schon 10h mit diesem Problem rum!
    Hat irgendjemand von euch ne Ahnung davon und kann mir helfen, da Licht reinzubringen und mir sagen, wie die "richtigen", originalen Cardanischen Formeln aussehen? Ich wäre demjenigen sehr dankbar ;)
    Danke schonmal für alle Hilfen
    JMP
     

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  3. #2 21. Januar 2007
  4. #3 21. Januar 2007
    AW: Gleichungen 3. Grades / Cardanische Formeln

    naja, ich geh auch nur inne 11, aber bis zu gleichungen 5ten grades sind alle formeln relativ zeitsparend zu lösen, danach muss man eben komplizierter und vorallem ungenauer vorgehen. Meine favorisierte methode ist das newton verfahren, aber wir sprechen ja hier noch von 3tem grad.

    die cardanischen formeln werden ja generell zur lösung von kubischen gleichungen (ax³+bx²+cx+d=0) genutzt.
    ich kann dir da jetzt nich genau weiterhelfen, aber ich denke die erklärung von wiki ist recht einfach zu verstehen Klick
     
  5. #4 21. Januar 2007
    AW: Gleichungen 3. Grades / Cardanische Formeln

    na alla

    (ax³+bx²+cx+d=0) sowass löst man doch mit Polynomdivision oder bin ich noch zu verpennt?
     
  6. #5 21. Januar 2007
    AW: Gleichungen 3. Grades / Cardanische Formeln

    diese erklärung find ich ganz logisch, schaut zwar schlimm aus, is aber verständlich

    Um den Schreibaufwand zu reduzieren, ersetzt man x durch y-r/3. Daher reicht es aus, Gleichungen der Form y3 + ay + b = 0 zu betrachten, wobei a und b reelle Zahlen sind - o.E. sei a ¹ 0. Der entscheidende Trick ist jetzt die Zerlegung: y = u+v.
    Wegen y3 = (u+v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 = u3 + 3uv(u+v) + v3 ist also y3 = 3uvy + (u3+v3) = -ay-b.
    Ein Vergleich der Koeffizienten liefert:

    Gleichung I) 3uv = -a und Gleichung II) u3+v3 = -b.

    Aus Gleichung I) folgt: v = -a/3u, und in II) eingesetzt ergibt das: u3 - a3/27u3 + b = 0 Û u6 + bu3 - a3/27 = 0. Mit d:= u3 erhalten wir daraus die quadratische Gleichung:
    d2 + bd - a3/27 = 0 Û d = -b/2 ± (b2/4 + a3/27)1/2 Û u = (-b/2 ± (b2/4 + a3/27)1/2)1/3
    Aus den Gleichungen I) und II) folgt analog: v = (-b/2 ± (b2/4 + a3/27)1/2)1/3. Wegen u3 + v3 = -b müssen die Vorzeichen der beiden Quadratwurzeln aus b2/4 + a3/27 verschieden sein und schon haben wir die Cardanische Formel:

    y = u + v = (-b/2 + (b2/4 + a3/27)1/2)1/3 + (-b/2 - (b2/4 + a3/27)1/2)1/3

    Falls die Diskriminante D:= b2/4 + a3/27 positiv ist, existieren drei verschiedene y-Lösungen, wobei die einzige reelle Lösung direkt an der obigen Formel abzulesen ist. Im Falle D = 0 gibt es nur reelle Lösungen, von denen mindestens zwei gleich sind - wenn a = b = 0 ist, sind sogar alle drei Lösungen gleich. Für D < 0 existieren drei verschiedene reelle Lösungen, die aber i.A. nicht durch reelle Radikale darstellbar sind (Casus irreducibilis).

    link

    hoffe geholfen zu haben...

    mfg realshadow
     
  7. #6 21. Januar 2007
    AW: Gleichungen 3. Grades / Cardanische Formeln

    vielleicht wären nochmal die unterschiedlichen formeln, die angeblich alle richtig sind hilfreich, damit man darauf bezug nehemn kann
     

  8. Videos zum Thema
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