Gleichungssystem 4. Grades Lösen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von Stylisch, 5. Mai 2009 .

  1. 5. Mai 2009
    Hi

    Ich hab da mal ein Grundliegendes Problem mit dem auflösen meiner Gleichungen.

    Also es soll eine Funktion 4. Grades aufgestellt werden.

    f(x)=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
    f´(x)=4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
    f´´(x)=12ax^2 + 6bx +2c

    Folgendes ist gegeben:
    P1 (2/0)
    P2 (-2/0)
    f´(2)=2
    f´(-2)=-2
    f´´(-1)=0

    Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

    1. 0 = 16a + 8b + 4c + 2d + e
    2. 0 = 16a - 8b + 4c -2d + e
    3. 2 = 32a +12b + 4c + d
    4. -2 = 32a +12b -4c + d
    5. 0 = 12a - 6b + 2c

    So jetzt zur Einsetztung, wenn ich das Einsetztungsverfahren nehme wird das je eine ewig lange Gleichung.
    Beim Additions- und Subtraktionsverfahren habe ich nicht wirklich eine Idee, wie ich damit am besten anfange. Denn das Ziel ist ja nach einer Variabel aufzulösen.

    Hat jemand einen Tipp, wie man an sowas am besten rangeht.
    Oder vielleicht nen Ansatzt?


    Thx schonmal im Vorraus, BW ist klar.
     
  2. 5. Mai 2009
    AW: Gleichungssystem 4. Grades Lösen

    Wenn du das Einsetzungsverfahren nicht magst: wie wäre es dann mit dem Gleichsetzungsverfahren, sprich bei 1. & 2. steht ja beide "0" auf der linken Seite, da haste am Ende dann z.B. eine Gleichung mit 2 Variablen (b & d).
    Auch die 3. & 4. Gleichung sehen sich doch (bis auf das Minus) sehr ähnlich, also da einfach äquivalent umformen, dass auf den beiden linken Seiten z.B. 2 steht & dann wieder gleichsetzen, dann gibt's wieder eine Gleichung mit 3 Unbekannten (a, b, d).
    Die letzte sind ja sowieso nur 3 Variablen, also so kommst du eigentlich "recht schnell" auf einen Ansatz ...
    Dann nur noch gegenseitig einsetzen, dann sollte da passen !

    Enjoy.
     
  3. 5. Mai 2009
    AW: Gleichungssystem 4. Grades Lösen

    mit dem Gaußsches Eliminationsverfahren gehts bei diesem beispiel recht schnell. falls du nicht weißt wie das geht, hier ein beispiel:

    http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Gau%DFsches_Eliminationsverfahren

    hab grad keine zeit mehr, aber ich kann die später den lösungsweg posten. das gleichungssystem ist auf jeden fall lösbar...(linear, 5 gleichungen, 5 unbekannte)
     
  4. 5. Mai 2009
    AW: Gleichungssystem 4. Grades Lösen

    Einfach mit ner Matrize ausrechnen.

    Aus deinen Gleichungen

    1. 0 = 16a + 8b + 4c + 2d + e
    2. 0 = 16a - 8b + 4c -2d + e
    3. 2 = 32a +12b + 4c + d
    4. -2 = 32a +12b -4c + d
    5. 0 = 12a - 6b + 2c

    ergibt sich folgende Matrix

    16 8 4 2 1 0
    16 -8 4 -2 1 0
    32 12 4 1 0 2
    32 12 -4 1 0 -2
    12 -6 2 0 0 0

    Taschenrechner, fertig

    a= -1/36
    b= 1/9
    c= 1/2
    d= -4/9
    e= -14/9

    Probe:

    16*(-1/36)+8*(1/9)+4*(1/2)+2*(-4/9)+(-14/9)=0

    Passt!
     
  5. 5. Mai 2009
    AW: Gleichungssystem 4. Grades Lösen

    Mit Gauß kann er wohl nichts anfangen, sonst hätte er die Probleme wohl nicht. Und so auf die schnelle lernt man das auch nicht...

    Aber was anderes als geschicktes Umformen bleibt dir wohl nichts anderes übrig.

    Das mit Gleichungen addieren und subtrahieren ist bis zu einem gewissen Grad ganz gut, mach ich aber relativ selten. Meistens such ich mir die kürzesten Gleichungen auf (wenige Variablen) und lös die nach der besten auf (so dass wenig Brüche entstehen, die Zahlen möglichst klein sind) in deinem Fall die letzte:

    5. --> c = -6a + 3b

    Das musst du dann in die anderen einsetzen, uns so weiter...

    Halt immer die Summanden zusammenfassen, dann sollte es eigentlich gehen, so lange sich keine Fehler einschleichen
     
  6. 5. Mai 2009
    AW: Gleichungssystem 4. Grades Lösen

    Also was du auf jeden Fall machen solltest ist

    (3) - (4)
    Weil dann kriegst du relativ einfach c:
    4 = 8c <=> c=0.5

    Bei (1) - (2) kürzt sich auch schön was weg:
    0 = 16b+4d <=> 0=4b+d
    Damit dürfte die Rechnung auch etwas schöner werden
     
  7. Video Script

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