hesse martix

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von hoertz, 6. Januar 2009 .

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  1. #1 6. Januar 2009
    seas
    also ich hab ein kleines verständniss problem bei der hesse matrix.
    ich hab ja meine exrempunkte aus der ersten ableitung die setz ich dann in die hesse martix ein und hab dann z.b http://www.bilderhoster.in/images/238_a.gif
    aba wie weiss ich jetzt wo die hoch tief bzw sattelpunkte sind?

    greetz hoertz
     

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  3. #2 7. Januar 2009
    AW: hesse martix

    in die 3te ableitung einsetzen & auflösen, wenn mich nicht alles täuscht.
     
  4. #3 7. Januar 2009
    AW: hesse martix

    ne ich hab die extremstellen scho. die setz ich in die hesse matrix ein und dann hab ich die da drin ^^ aba ich weiss die bedingungen für hoch/tiefpunkte.
     
  5. #4 7. Januar 2009
    AW: hesse martix

    ahh also erstmal die determinate bestimmen

    die muss positiv sein und dann gehts nach dem vorzeichen der ziffer oben links.
    ist die positiv: minimum
    ist die negativ: maximum

    keine 100%ige garantie. :)

    MfG
     
  6. #5 7. Januar 2009
    AW: hesse martix

    der wert von der determinante berechnet sich über kreuz, also in dem fall:

    1 x 2 - (-1) x 3 = 5

    5 > 0 daraus ergibt sich ein maximum.
    (bei negativer zahl ist es ein mamimum)
     
  7. #6 8. Januar 2009
    AW: hesse martix

    des scheint mir doch scho mal logisch ^^
    merci für die antwort
    ich lass mal offen falls jmd noch was einfällt
     
  8. #7 9. Januar 2009
    AW: hesse martix

    Mamimum=Minimum ;)

    Und ansonsten völlig falsch. Zudem fehlt eine Eigenschaft.

    det(A)>0 => Lokales Minimum liegt vor (man nennt es positiv definit)
    det(A)<0 => Lokales Maximum liegt vor (man nennt es negativ definit)
    det(A)=0 => Sattelpunkt liegt vor (man nennt es indefinit)

    Zudem gibt es noch semidefinit für >=0 und <=0, hier liegt keine eindeutige Aussage per det(A) vor.


    Hier eine kleine Quelle der Eigenschaften (damit du nicht behaupten kannst ich hätte es aus der Luft gegriffen ;) )
     
  9. #8 9. Januar 2009
    AW: hesse martix

    stimmt, peinlicher fehler. ;(

    jetzt mal zum rest hier. völlig falsch kann das was ich geschrieben habe sicher nicht sein. es kommt jetzt auch auf den aufgabentyp drauf an. da der threadsteller geschrieben hat, er hat die extrempunkte aus der erste ableitung schon bestimmt, wird es sich wohl um die eine bivariate optimierung handelt (bei diesem verfahren wird das determinantenergebnis minus genommen, d.h. max bei >0 und min bei <0, darum hab ich das angenommen).
    ausserdem würde bei einer bivariaten optimierung andere eigenschaften als hinreichend und notwendig gelten.
    am besten ist es, uns die aufgabe mal mitzuteilen, weil ist es keine bivariate optimierung hat er nämlich recht.
     
  10. #9 9. Januar 2009
    AW: hesse martix

    Dem stimme ich vollkommen zu. Ohne Aufgabenstellung kann man wirklich nicht viel dazu sagen und ich muss mein "völlig falsch" zurück nehmen.

    Aber anscheinend reicht dem Threadersteller unsere bisherige Hilfe schon :)
     
  11. #10 14. Januar 2009
    AW: hesse martix

    merci erstma ^^
    ich hab noch ne frage

    wenn ich jetzt die hesse matrix hab und noch n y drin hab was mach ich dann? weil y hab ich ja als konstante angesehn und wenn dann z.b. -10y is und y negativ ist, ist es ja ein HOP wenn aba y negativ is ist es ein TIP?
     
  12. #11 14. Januar 2009
    AW: hesse martix

    Also erstmal:

    Das alleinige Prüfen der Determinante der Hessematrix ist nicht hinreichend für den Nachweis eines Hoch-/Tiefpunktes!

    Vielmehr sind die Eigenwerte der Matrix zu überprüfen:

    Minimum: Alle Eigenwerte > 0
    Maximum: Alle Eigenwerte < 0
    Maximum oder Sattelpunkt: Alle Eigenwerte >=0 und es existiert mindestens ein Eigenwert != 0
    Minimum oder Sattelpunkt: Alle Eigenwerte <=0 und es existiert mindestens ein Eigenwert ungleich 0
    Sattelpunkt: Es existiert mindestens ein Eigenwert > 0 und ein Eigenwert < 0

    Falls alle Eigenwerte der Hessematrix null sind, ist keine Aussage möglich.

    Zu deiner Frage: du könntest hier deine Eigenwerte in Abhängigkeit von y bestimmen und prüfen für welche y sich positive/negative Eigenwerte ergeben und dann entsprechende Fallunterscheidungen vornehmen.

    Ich hoffe ich konnte hier helfen
     
  13. #12 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    seas danke für deine antwort aba um ehrlich zu sein weiss ich ned wie ich des machen soll.
    ich hab mal ne aufgabe abgetippt:

    {bild-link down}

    und in der lösung der determinate hab ich ja x und y drin und weiss dann leider nimma weiter. die bedingungen für HOP/TIP sind mir jetzt klar. des x bzw y in der determinante verwirrt mich, weil ich die ja als konstanten beim ableiten angesehen hab und jetzt ja nich weiss ob die positiv oder negativ sind.
     
  14. #13 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    Ah - jetzt verstehe ich dein Problem - du musst deine Extrempunkte (also x und y - Koordinaten) in die Hessematrix einsetzen und dann so vorgehen wie vorher beschrieben...
     
  15. #14 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    ja aba wenn ich dann die punkte einsetz dann hab ich ja immernoch zb beim punkt x2 n y drin oda muss ich da die fallunterscheidung machen?
     
  16. #15 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    jetzt versteh ich dein problem, als erstes musst du das x und das y aus den extrempunkten ausrechnen, sodass keine variable mehr vertreten ist. danach musst du erstmal die zweite partielle ableitung machen also xx, yy, xy und yx. wobei xy und yx normalerweise das selbe ergebnis gibt. bei diesem aufgabentyp brauchst du übrigens die hesse matrix nicht um den extrempunkt zu bestimmen, ich könnte dir ein eine beispielaufgabe uppen, die wir bei uns an der uni dafür bekommen haben und zur not auch noch ein definitionsblatt.

    um sich nochmal auf deinen aufgabe kurz zu beziehen, du musst z.b. x1 in fx einsetzen um eine variable zu eleminieren. dadurch hast du einen y wert ohne variable. danach kannst du dann y1 und y2 in x1 und x2 einsetzen und bekommst auch hier einen wert ohne variable raus. musst halt mal ein bisschen rumprobieren. hab jetzt nicht nachgerechnet ob das was du gemacht hast stimmt
     
  17. #16 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    okay habs mir jetzt nochmal genauer angesehen:

    notwendige bedingung fuer ein extremum

    grad f=0

    grad f=(18x^2+6xy; 3x^2-3y^2)=0 (wobei hier der gradient, also der gesamte vektor null werden muss)

    die einzige lösung des systems ist x=y=0.

    die von dir aufgestellte hesse-matrix ist korrekt - setzt man dort die punkte x=0 und y=0 ein, so ergibt sich die nullmatrix - mit diesem ansatz kannst du also keine aussage machen
     
  18. #17 15. Januar 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
  19. #18 15. Januar 2009
    AW: hesse martix

    danke eure antworten helfen mir sehr weiter.
    wenn noch fragen auftreten werd ich wieda editieren.

    // meine hoffentlich letzte frage ^^

    wie formulier ich des mathematisch korrekt dass es ne abbildung
    RxR->R is?
    in worten hab ich des scho ich bräucht nurnoch nen mathematischen text/beweis
     

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