Integration durch Substitution

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von eG0n, 9. März 2009 .

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  1. #1 9. März 2009
    Tach!

    habe eine Frage zur Integration durch Substitution

    gesucht ist das Integral von 2-4 und der Term lautet f(x)=(3*x)/27

    (3*x)/27 wird mit u substituiert.
    u(x)= (3*x)/27
    u'(x)=1/9
    1/9dx = du
    dx= 9du
    Integral von f(2) bis f(4) mit dem Term u*9

    dies müsste eigentlich stimmen, wenn ich aber jetzt eine andere Aufgabe habe, z.B.:

    gesucht ist das Integral von 2-4 und der Term lautet f(x)= x²/27
    x²/27 wird mit u substituiert
    u(x)= x²/27
    u'(x)= (2*x)/27 die Ableitung von u(x) enthällt immer noch die Variable x. Wenn man nun damit weiterrechnet, bleibt diese immer bestehen und da komme ich nicht weiter...
    (2*x)/27dx= du

    da komme ich mit der Variable x nicht weiter

    mfg eG0n
     

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  3. #2 9. März 2009
    AW: Integration durch Substitution

    OK, kurze Frage vorweg: Wieso löst du solche "schweren" Integrale mit Substitution!?
    Zum Verständnis ist das bestimmt nicht schlecht, aber du musst auch die Substitutionsregel im Hinterkopf behalten:
    [​IMG]
    Also die Ableitung sollte bei der Funktion schon irgendwie wieder auftauchen ...
    Also könntest du irgendwie sowas wie x/27 substituieren oder so. Alternativ könntest du die Funktion am Ende WIEDER substituieren, aber ich sehe wirklich keinen Grund dazu es kompliziertes zu machen als es ist ;)
    So sind z.B. (3x)/27 = 1/9 * x, also doch recht schnell & einfach zu integrieren (hoffentlich).
     
  4. #3 9. März 2009
    AW: Integration durch Substitution

    ja sicher lassen sich die Integrale durchaus einfacher bilden, nur ist die Integration durch Substitution bestandteil der Klausur und ich wusste gerade keine andere Aufgabe bzw. Beispiel.

    Die Formel die du gepostet hast steht auch bei uns im Mathebuch, nur leider verstehe ich diese nicht. Muss in der gegeben Formel bereits eine Ableitung vorhanden sein? Es geht dabei doch um äußere und innere Ableitung oder?
     
  5. #4 9. März 2009
    AW: Integration durch Substitution

    Genau. ALSO (weiteraushol):
    Damit du die Substitutionsregel sinnvoll bzw. überhaupt anwenden kannst, muss die Ableitung der inneren Funktion (hier: phi), noch als Faktor vorkommen.
    Wenn du nun natürlich nur ein (x^1) hast, also abgeleitet einfach eine Konstante, kannst du diese leicht erzeugen, hast also keine Probleme bei der Substitution.
    Wenn du dann aber kompliziertere Ausdrücke hast, muss man entweder schlau substituieren, so dass es klappt, also z.B. bei deinem 2. Beispiel nur (x^1) oder es klappt eben nicht ...

    Etwas deutlicher so!?
     
  6. #5 10. März 2009
    AW: Integration durch Substitution

    Du braucht für die Substitution im Allgemeinen die Umkehrfunktion. Also wenn du folgendes substituieren willst:
    u(x)= x²/27
    Dann lautet die Umkehrfunktion:
    x(u) = Sqrt(27*u)

    Dann kannst du wie gewohnt die Ableitung berechnen

    u'(x) = du/dx = (2*x)/27
    (2*x)/27dx= du
    oder dx = 27/(2 x) du

    Und jetzt die Umkehrfunktion hier einsetzen:
    dx = 27 / (2 Sqrt( 27 u )) du = 1/2 * Sqrt (27/u) du

    Ob das dann einfacher wird, ist eine andere Frage:
    du kannst aber auf folgende Ableitung bilden:
    dx/du = d/dx ( Sqrt( 27 u ) ) = 1/2 * 27 / Sqrt( 27 u ) --> dx = 1/2 * Sqrt (27/u) du
     

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