#1 6. Mai 2012 Hey, ich wollte vorhin jemandem bei einer eigentlich recht einfachen Aufgabe helfen. Es geht um die Konvergenz bzw. Divergenz der Folge an = q^n für |q| < 1 , |q| > 1 und q = -1. Es ist total selbstverständlich, dass die Folge für |q| < 1 konvergiert, da eine Zahl die betragsmäßig kleiner als 1 ist duchs potenzieren immer kleiner wird, allerdings ist nach dem Beweis dafür gefragt und da fällt mir blöderweise nichts ein. Wäre cool wenn mir da jemand weiterhelfen könnte! + Multi-Zitat Zitieren
#2 6. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge Hier nochmal Konvergenz erklärt Konvergenz von Folgen (habe es nur überflogen). |q|<1 heißt nichts anderes als q=1/r (|r|!=1, r!=0) bzw. q=0, und Beweise zu solchen Nullfolgen sollte es genügend geben imo 1 Person gefällt das. + Multi-Zitat Zitieren
#3 6. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge Danke, aber der Begriff der Konvergenz ist mir mehr als klar. Mir geht es um einen konkreten Beweis, da ich denke, dass es nicht ausreicht einfach "Nullfolge" als antwort zu geben. + Multi-Zitat Zitieren
#4 8. Mai 2012 Zuletzt bearbeitet: 8. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge Der Beweis ist recht easy: Es reicht für q>0 zu zeigen, da die Multiplikation mit -1 nichts am Konvergenzverhalten ändert, denn, wie wir sehen werden konvergiert die Folge für für q<1 und divergiert bestimmt für q>1. Fall 1: q<1. Dann fällt die Folge monoton aber ja durch 0 beschränkt. Somit konvergent. Fall 2: q>1. Die Folge wächst monoton um einen konstanten Faktor > 1. D.h. sie ist monoton wachsend aber (aufgrund der archimedischen Ordnung) unbeschränkt und somit bestimmt divergent gegen unendlich. Fall 3: q=-1. Annahme: Es ex. Grenzwert a. Dann gälte für fast alle Folgenglieder: a-1/2<(-1)^n<a+1/2 Es folgte für genügend große gerade n a-1/2<1<a+1/2 und für ungerade n a-1/2<-1<a+1/2, also 1/2<a<-1/2. Ein Widerspruch! Somit divergiert die Folge für q=-1 1 Person gefällt das. + Multi-Zitat Zitieren
#5 8. Mai 2012 Zuletzt bearbeitet: 8. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge man kann auch etwas ausholen und es so "beweisen": mit einem konvergenzkriterium kann man z.B. zeigen dass eine Folge absolut konvergent ist, daraus folgt dass die unendliche reihe konvergent ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium , erster Satz) wenn du nun unser q<1 einsetzt hast du (q^(n+1))/(q^n) = q^1 = q. unser q ist von anfang an kleiner als 1 ist, damit ist die bedingung des kriteriums q<1 erfüllt. Absolut konvergente Folge -> konvergente Reihe 1 Person gefällt das. + Multi-Zitat Zitieren
#6 8. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge Danke erstmal für die Antworten. Ich habs letztendlich genau wie PC-Overload einfach argumentativ gelöst. @ annac: soweit ich weiß kann man mit dem Quotientenkriterium nur die Konvergenz von Reihen, nicht aber von Folgen beweisen, oder seh ich das falsch? + Multi-Zitat Zitieren
#7 9. Mai 2012 AW: Konvergenz einer Folge Konvergiert eine Reihe, so ist die Folge über die Summiert wird eine Nullfolge Mit Reihen geht aber nur der Beweis für q<1. Denn eine Divergente Reihe sagt nichts über die Konvergenz der Folge aus (z.B. konvergiert ja auch 1/n gegen 0, ist also Nullfolge, aber die Reihe darüber divergiert) + Multi-Zitat Zitieren