kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von luks, 27. Januar 2009 .

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  1. #1 27. Januar 2009
    Hi,
    Ich habe die logarithmische Spirale:

    x(t)=e^(0,5t)*cos(t)
    y(t)=e^(0,5t)*sin(t)

    t E {0;2pi}

    Ich bräuchte die Schnittpunkte mit der X-Koordinatenachse. Meine Ergebnisse:
    0; 0,5pi; pi; 1,5pi und 2pi
    Habe einfach gesagt da e^(0,5t) nicht 0 werden kann, lasse ich das aus.
    Brauche die ergebnisse für die vorzeichen.

    Dann bräuchte ich noch, "Bestimmung der lokalen Extrempunkte." (habe per versuch herraus gefunden das es (3pi)/4 ist. Weiß aber nicht wie ich es beweisen soll).

    Und als letztes die Kurvenlänge von dem Stück 0;2pi.


    Hoffe mir kann jemand helfen.

    Bw ist klar
     

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  3. #2 27. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    Schnittpunkte mit der y-Achse
    für den cos(t)-Term: 1, für den Sinusterm 0. Man muss dafür t = 0 setzen.

    Für die Extrempunkte musst du es ableiten:
    x'(t) = cos(t) * e^(0,5t)/2 - sin(t) * e^(0,5t)
    y'(t) = cos(t) * e^(0,5t) + sin(t) *e^(0,5)t/2

    Davon musst du die Nullstellen suchen.
     
  4. #3 27. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    Ja, soweit bin ich auch. Bei x't habe ich auch schon probiert. Also mein Lösungsweg:

    Habe e^(0,5t) habe ich ausgelassen, da e^(0,5t) nicht 0 sein kann.

    cos(t)-sin(t)=0 | -cos(t)
    -sin(t)=-cos(t) | : (cos(t))
    (-sin(t)/cos(t))=-1
    -tan(t)=-1 | : (-1)
    tan(t)=1

    t=(pi/4) oder t=(5pi/4)
    ich weiß aber das (3pi/4) richtig ist. Daher habe ich noch einen anderen Lösungsweg (glaube aber der Anfang ist schon falsch, hab es vom Kollegen):

    cos(t)=-sin(t) | +sin(t) (darf man das schon von vorne herein machen, da es ja eigentlich cos(t)-sin(t)=0 ist ja nicht das selbe wie cos(t)=-sin(t)), naja weiter:

    cos(t)+sin(t)=0 | -cos(t)
    sin(t)=-cos(t) | : cos(t)
    sin(t)/cos(t)=-1
    tan(t)=-1

    Da bekommt man dann t=(3pi)/4

    Vielleicht kann mir da jemand helfen und mir fällt grade auf, ich meine x-achse. Änder das eben oben.
     
  5. #4 27. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    x'(t) = cos(t) * e^(0,5t)/2 - sin(t) * e^(0,5t)
    x'(t) = e^(0.5)/2 * (cos(t) - 2sin(t))

    0 = cos(t) - 2sin(t)

    y'(t) = cos(t) * e^(0,5t) + sin(t) *e^(0,5)t/2
    y'(t) = e^(0.5t)/2 * (2*cos(t) + sin(t))
    0 = 2*cos(t) + sin(t)

    Beides kann man meines Wissens nur numerisch lösen.

    Zum Thema Nullstellen:
    sin(t) = 0 für t = 0, pi und 2 pi
    cos(t) = 0 für t = pi/2 und 3pi/2
     
  6. #5 27. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    Ja, soweit bin ich auch schon. Nur wie löse ich nun x'(t) und y'(t)??

    Bw hast du.
     
  7. #6 27. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    Warst du nicht, du hattest schon falsche Ableitungen, und Lösungen habe ich auch schon genannt: Man kann sie meines Wissens nur numerisch lösen, also in nen Computer eintippen und gucken was raus kommt. Alternativ könnte man auch Nährungsverfahren anwenden werden, aber es kommt aufs gleiche raus.
     
  8. #7 28. Januar 2009
    AW: kurvenunterschung einer logarithmischen Spirale

    0 = cos(t) - 2sin(t)
    das is doch
    2sin(t)=cos(t) --> tan(t)=1/2
    damit müssteste doch ne lösung für lokalen extrema der ersten bekommen oder?

    mfG
     

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