Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von powernator, 24. Oktober 2011 .

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  1. #1 24. Oktober 2011
    Hallo,

    komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter ...

    Seien A und B Teilräume von K^n. Man beweise:
    a) A ∩ B und A + B = {x+y : x ∈ A, y ∈ B} sind Teilräume von K^n
    b) Ist A ∪ B ein Teilraum von K^n, so ist A ⊆ B oder B ⊆ A

    Ein Teilraum U ist ja folgendermaßen definiert: U ≠ ∅; x,y ∈ U -> x+y ∈ U; a ∈ K, b ∈ U -> ab ∈ U. Aber wie wende ich das auf die beiden Aufgaben an? >.<

    Für die reelle Zahl α = 3.Wurzel(2) betrachte man die Teilmenge
    R := { a + bα + cα² | a, b, c ∈ Q [rationale Zahlen]}
    a) Zeige, dass R ein Teilring von R [reelle Zahlen] ist. (Hinweis [...] zu zeigen, dass für r, s ∈ R auch r-s und rs in R liegen).
    b) ... R sogar Körper ist. α ∉ Q [rationale Zahlen] ... zeige zunächst: Aus x + yα + zα² = 0 mit x, y, z ∈ Q [rationale Zahlen] folgt x=y=z=0

    Bei der a) habe ich es schon hinbekommen zu zeigen, dass r-s ∈ R ist, aber wie zeige ich es für rs, ohne mich zu verzetteln?
    b) Dass x=y=z=0 ist ja trivial, aber wie zeige ich es am besten? Und "zeige zunächst" klingt so, als wollen die, dass man noch etwas anderes zeigt :D

    ---

    Bin ein Erstsemester und natürlich erwarte ich nicht, dass jemand direkt den kompletten Lösungsweg postet. Allerdings habe ich via Google etc. nichts brauchbares gefunden (außer dass man die b) der 1. Aufgabe über einen Widerspruch beweisen kann), daher frage ich hier nach Ansätzen~
     

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  3. #2 25. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    hey

    also mal zu a)
    x,y? (A ? B) ist ja gerade wenn x,y?A und x,y?B
    Nach Voraussetzung ist x+y?A und x+y?B, für r*x ist die argumentation gleich.
    bei A+B musste nur unterteilen, x=a1+b1 y=a2+b2 a1,a2?A b1,b2?B , dann folgt die Aussage auch schon wieder über die Voraussetzungen
    b) Dann such den Widerspruch :D
    Es gibt also c=a+b in A ? B, a aus A, b aus B aber nicht umgekehrt.
    c liegt in A oder B, was ist mit c-a bzw c-b?



    Bist du dir bei der Beschreibung von R sicher, dass a,b,c ?Q? weil ja a=3Wurzel(2) gesetzt sein sollte...
    Beim Multiplizieren musst du natürlich sehen, dass a^3=2 ist und damit keine höhere Potenz als 2 auftreten kann

    b) sooo trivial ist das auch nicht, weil ja zum Beispiel x=0 und ya=-za^2 sein könnte, löst sich aber schnell auf, wenn du die gleichung auflöst (a ist ja nicht aus Q)

    Damit zeigst du ja erstmal nur die Eindeutigkeit des 0-Elements, wenn ich mich nicht ganz täusche, müsste man die restlichen Körperaxiome auch noch überprüfen (natürlich nur die, die die Ringaxiome nicht schon überprüfen)


    Hoffe ich konnte dir helfen, ohne alles zu verraten, gerade das Rätseln hilft eigentlich am meisten :D

    Ich schau später nochmal vorbei, falls sich noch was ergeben hat
     
  4. #3 26. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    Die erste Aufgabe konnte ich jetzt lösen! Problem war, dass ich A \ B und Schnittmenge von A und B (was hier ja der Fall war) verwechselt habe...

    Bei der zweiten Aufgabe ist das a) auch klar, wenn man alpha^3 = 2 und alpha^4 = 2alpha kennt, da stand ich echt auf dem Schlauch, aber damit ist das Umformen kein Problem mehr ;)

    Jetzt bin ich bei der b).
    (Ja a, b, c sind rationale Zahlen und alpha eine reelle). Nehme ich an z=0 habe ich x= -y alpha. Da alpha ja aber kein Element der rationalen Zahlen ist, kann x = -y alpha nur stimmen, wenn x=y=0 ist, oder? Selbiges gilt, wenn man zB x=0 setzt. Langt das, um zu beweisen, dass x=y=z=0 sein muss?

    Ein Ring erfüllt ja folgende Körperaxiome nicht (laut meinem Aufschrieb): ab=ba; a*(1/a)=1; a(b+c)=ab+ac. Langt es, das also rechnerisch zu lösen? Dass ich zB a*b ausrechne und das dann b*a entspricht?
     
  5. #4 26. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    Hey
    ich seh gerade, das mein vermeintliches a ein alpha ist, dann war das mein fehler

    das Distributivgesetz wird von Ringen erfüllt. Die Beweise sind dann genauso wie in a), von a*b nach b*a umformen etc und fertig, dürfte kein großes Problem sein.
     
  6. #5 26. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    Ok, vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfestellung ;) Dass ich das mit a^3=2 nicht gesehen habe, ärgert mich persönlich, aber das passiert wohl, wenn man den ganzen Tag nur Mathe macht und den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht ^^''
     
  7. #6 26. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    Hallo!
    Ich muss ebenfalls diese Aufgaben machen und verstehe bei der 1. a:

    A + B = {x+y : x ∈ A, y ∈ B} sind Teilräume von K^n

    nicht, wie man aus x=a1+b1 y=a2+b2 a1,a2?A b1,b2?B folgt, dass x+y in beiden Teilräumen enthalten ist. Also wieso ist denn zum Beispiel dadurch b2 in A?

    Wäre toll, wenn ich noch einen kleinen Tipp bekäme ... ;)

    Vielen Dank und liebe Grüße!
     
  8. #7 30. Oktober 2011
    AW: Lineare Algebra Teilräume bzw. Teilmenge

    Ist jetzt vermutlich zu spät, aber trotzdem:

    also x,y aus A+B x=a1+b1 y=a2+b2 zu zeigen: x+y ist in A+B

    x+y=(a1+b1)+(a2+b2) Kommutativ- Assosiativgesetz = (a1+a2)+(b1+b2)
    a1+a2 ist in A nach Vor. b1+b2 in B
    Also x+y in A+B
     

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