#1 9. Oktober 2009 Hey Leute, ich hoff ihr könnt mir helfen.. Mein problem ist die vollständige Induktion.. ich hab irgendwie keine Ahnung wie ich vorgehen muss.. vlt wisst ihr ja mehr.. Aufgabe: 3+7+11+...+4n-1 = n + 2n² Wir müssen dazu folgende Schritte machen: Induktionsanfang <-- kann ich Induktionsschritt - Induktionsvoraussetzung Induktionsschritt - Induktionsbehauptung Induktionsschritt - Induktionsbeweis und die letzten beiden also Behauptung und Beweis machen mir probleme.. wäre sehr dankbar für eure Hilfe.. mfg AiDs
#2 9. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis Da Anfang klar ist mache ich mal gleich beim Schritt weiter: Deine Annahme ist, dass die Gleichung für k=n gilt und du willst zeigen, dass daraus auch die Gültigkeit für k=n+1 gilt. >> 3+7+11+...+4n-1+(4(n+1)-1) = 3+7+..+ 4n-1 + 4n+3 = (nach Vorraussetzung) n+2n^2 + 4n+3 = 2n^2 + 4n + 2 + n +1 = 2(n^2+2n+1)+(n+1) = 2(n+1)^2 + (n+1) Und das ist genau das was du zeigen solltest. Um die letzten Umformungen hinzubekommen, solltest du schauen was rauskommen muss (hier ja 2(n+1)^2+(n+1)) und dann solange rumspielen, bis du es hast und dann eben richtig herum aufschreiben. Viel Spaß
#3 9. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis Okay, die Behauptung macht eigentlich gar keine Probleme, die hast du nämlich schon hingeschriegen, dass entspricht einfach der zu zeigenden Behauptung. Zuächst zeigst du den Induktionsanfang & denn schreibt man meist als Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte nun für ein n in den natürlichen Zahlen. Im Induktionsschritt gehst du dann von n nach n+1, d.h. du musst zeigen: 3 + 7 + 11 + ... + 4(n+1)-1 = (n+1) + 2(n+1)² Du ersetzt also die n einfach durch (n+1) Tja & jetzt zum Beweis, aber dazu geb ich nur noch ein paar Hinweise. Du kannst dazu annehmen, dass deine Behauptung gilt, also wenn irgendwo der Term der Beahuptung steht, kannst du die Gleichung entsprechend ersetzen bzw. umwandeln, d.h. zum Beispiel wird aus 3 + 7 + 11 + ... + 4n-1 + 4(n+1)-1 = n +2n² + 4(n+1)-1 Wir haben also einfach die ersten Summanden (bis auf den letzen) durch die Behauptung ersetzt, haben also die Induktionsvoraussetzung angewandt, weil wir wussten, das ganze gilt bereits für ein n. So & jetzt musst du noch die Gleichung umformen bis dort steht was zu zeigen ist. Am besten geht man von beiden Seiten ran, multiplizierst also aus usw. & irgendwann steht dann auf beiden Seiten das gleiche ! Hört sich komplizierter an als es ist !
#4 9. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis Von beiden Seiten multiplizieren und solange rumfummeln bis "auf beiden Seiten das selbe steht" ist imo ein sehr schlechter Stil. Du zeigst dann A=A <=> B=B usw. Schöner, eleganter und wohl auch technisch besser ist die Form A=B=C=... (Wobei in der Schule aber "auf beiden Seiten das Gleiche" ausreichen könnte)
#5 9. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis Das war auch genauso gemeint, wenn man die Sache rausfinden will, ist es doch recht hilfreich auf beiden Seiten ein bisschen rumzuspielen, nicht dass man wegen einer nicht Ausmultiplizerten Klammer etc. nicht sieht, dass dort tatsächlich das Gleiche steht ... Wenn man das dann aber ordentlich aufschreibt, heißt das natürlich, dass man alles ordentlich hintereinander schreibt, so dass am Ende wie du sagst eine Gleichungskette rauskommt.
#6 9. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis ähm... verstehst du überhaupt den sinn der induktion (auf schulniveau)?! wenn A der schritt "n" ist (also die induktionsvoraussetzung) und B der schritt "n+1", dann ist doch alles in butter: egal welches n ich wähle, der nachfolger verhält sich wie in der folge angegeben. A=B=C... holla... also das müsstest du mir erst zeigen, wie das gehen soll...
#7 10. Oktober 2009 AW: [Mathe]Problem mit Analysis Induktionsanfang: Beispiel für n = 1 durchrechnen... Induktionsvorraussetzung ist immer gleich: "Wir nehmen an, die Behauptung gilt bereits für ein n" Induktionsbehauptung: 3 + 7 + 11 + ... + 4n - 1 = n + 2n² Induktionsbeweis: n -> n+1: 3 + 7 + 11 + ... + 4(n+1) - 1 = = 3 + 7 + 11 + ... + 4n - 1 + 4(n+1) - 1 = (nach Induktionsvorraussetzung) n + 2n² + 4(n+1) - 1 = n + 2n² + 4n + 4 - 1 = n+1 + 2n² + 4n + 2 = n+1 + 2(n+1)² Q.E.D (das ist nämlich dann genau die Behauptung für n+1) Induktionsschritt ist übrigens ein anderes Wort für Induktionsschluss, also das was ihr Induktionsbeweis nennt... MfG
#8 10. Oktober 2009 AW: [Mathe] Analysis Induktionsschritt - Induktionsbeweis @Timer Natürlich habe ich den Sinn der Induktion verstanden. Es geht einfach um die Situation, wenn Schüler den Term aus der Vorraussetzung eingesetzt haben und dann versuchen zu zeigen, dass dies gleich mit dem Ausdruck ist, der rauskommen soll. Ich meine hier im Beispiel: n+2n^2+4(n+1)-1 = n+1 + 2(n+1)^2 Jetzt auf beiden Seiten rumzumultiplizieren und immer wieder neu aufschreiben ist der schlechte Stil. Die Gleichungskette A=B=C usw. siehst du in meiner Lösung. Deshalb frage ich mich auch ernsthaft, was ich nicht verstanden haben sollte, wenn du meine Lösung mal ansiehst. edit: A und B sind keine Aussagen für irgendwelche k, sondern einfach Terme wie (n+1)+2(n+1)^2
#9 13. Oktober 2009 AW: [Mathe] Analysis Induktionsschritt - Induktionsbeweis so gut wunderbar leute.. habs gecheckt hab euch allen ne bewertung geben.. Danke