Mathe - Extremalproblem

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von zNk, 16. September 2008 .

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  1. 16. September 2008
    Huhu,
    hätte da ne Aufgabe für euch die ich partout nicht hinkriege...^^ Extremalproblem...und zwar:

    die zahl 100 soll so in zwei positive summanden x und y zerlegt werden, sodass die Summe der Quadrate dieser Summanden möglichst klein wird.

    bin dankbar für jede hilfe
     
  2. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    x+y = 100
    y = 100 - x

    f(x,y) = x² + y²

    f(x) = x² + (100-x)²

    f(x) = 2x² - 200x + 10000

    f'(x) = 4x - 200
    Extrempunkt (f'(x) = 0) für x = 50), also ist es für x = 50 (daraus folgt y = 50) die Summe der Quadrate am kleinsten.
     
  3. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    Schöne rechnerische Lösung, wollt ich auch grad schreiben. Bei rein logischem nachdenken fällt einem allerdings schon auf das es zwangsläufig so sein muss.
     
  4. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    funktion aufstellen:
    ------------------------

    x + y = 100
    => x = 100 - y
    S(x,y) = x² + y²
    => S(y) = (100 - y)² + y²
    = 100² - 200y + y² + y²
    = 2y² - 200y + 100²

    minimum suchen:
    ----------------------

    nach y ableiten:
    S'(y) = 4y - 200
    S''(y) = 4
    nullsetzen um minimum rauszufinden:
    S'(y) = 0
    4y - 200 = 0
    4y = 200
    y = 50
    S''(50) > 0 => minimum

    aus y = 50 folgt:
    x = 100 - y = 50

    so sollte eigentlich stimmen könne man auch logisch begründen, aber ich glaube es geht hier um den rechnerischen weg

    na toll, mal wieder zu spät ... mach mir immer so die mühe
     
  5. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    ja wollt ich auch grad sagen. aber der rechenweg ist gut zu verstehn denke ich mal. aber heißt das nicht extermalproblematik?
     
  6. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    nein heißt es nicht...^^ also bei uns im Buch steht Extremalproblem, geh ich mal von aus, dass das stimmt

    danke für die schnellen und guten Antworten

    nur was mir noch nicht ganz schlüssig ist wie man z.B. bei IfindU von

    f(x) = 2x² - 200x + 10000

    auf

    f'(x) = 4x - 200

    kommt^^ falls das noch einer erklären könnte^^ und warum setz ich die gleichung 0 und nicht 100?^^

    EDIT: 2. Frage hat sich geklärt, da 0 das kleinste Produkt aus zwei positiven Summanden ist.
     
  7. 16. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    Man sucht einen Punkt, wo die Steigung der Tangente 0 hat, dort ändert sich (ich lasse Wechselpunkte extra weg) immer von positiver Steigung zu negativer oder umgekehrt. Das Ergebnis ist ja offensichtlich eine Parabel, und ihr Tiefpunkt/Minimum, der tiefste Punkt den die verlaufen wird, hat eine Steigung von 0.

    f'(x) ist die Ableitung, die die Steigung der Tangente zu jedem x-Wert beschreibt.
     
  8. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    f'(x) ist die Ableitung von f(x). Regel: f(x) = x^n f'(x) = nx^n-1

    Also in diesem Fall:

    f(x) = 2x² - 200x + 10000
    f'(x) = 2*2x^2-1 - 1*200x^1-1 = 4x - 200


    Korrekt
     
  9. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    also Ableitung hab ich no nie was von gehört... ^^ bin 11. also bei uns steht das unter dem Thema quadratische Funktionen^^
     
  10. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    Hmmm, also Ableitungen dürften in der 11. Klasse jetzt dran sein, weiß blos nicht ob Anfang, Mitte oder Ende
     
  11. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    omg, das macht für mich keinen sinn


    hab schon mein problem mit linearen gleichungen .... xD
     
  12. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    Die kommen frühestens im 2.halbjahr in der 11 dran. aber meistens am ende.
    und damit wird dann auch noch anfang der 12 weiter gearbeitet.

    Edit:


    Ja das kenn ich ist bei mir auch so gewesen mit mathematischen themen, aber aus meiner sicht legt sich das wenn das im unterricht behandlet wird, und man merkt das es gar net so schwer ist
     
  13. 17. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    naja nächstes jahr darf ich das vll auch lernen ^^

    zurzeit bleib ich noch bei meinen kräfteberechnungen

    ok sry für OT,

    jetzt weiß ich wo ich mir bald nachhilfe holen kann =)
     
  14. 18. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    also dass ihr die aufgabe so kompliziert gelöst habt, finde ich schon amüsant.... ist zwar richtig mit der ableitung, aber unnötig.

    50;50 kann nur möglich sein



    das selbe bei z.b. einzäunung eines möglichst großen gebietes mit einer bestimmten "länge" zaun... rein logisch, dass ein kreis dabei rauskommt...

    komischer vergleich, aber komplizierte rechnungen sind hier nicht nötig, wobei ich denke, dass der lehrer diese sowieso nciht erwartet hat, wenn die schüler noch nichts von ableitungen wissen
     
  15. 18. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    man kann extrempunkte auch ohne differentialrechnung bestimmen ...
    mal abgesehen davon, dass ich an den rechnungen nach 5mal drüberschauen immer noch nichts kompliziertes finde ... 1,5 min arbeit ...

    und wie schon erwähnt liese sich das ganze auch logisch begründen, allerdings wird darauf (leider) in der schule nicht so viel wert gelegt, deswegen die rechnerische lösung. ich persönlich bevorzuge die logische variante, weil das einfach auch das denken schult. rechnen kann jeder mit etwas übung.
     
  16. 18. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    stimmt auch wieder. sollte kein angriff auf eure bereitschaft zur hilfe sein. sorry dafür
     
  17. 18. September 2008
    AW: Mathe - Extremalproblem

    Tolle Idee - natürlich lässt es sich leicht durch logisches Denken lösen, aber ich wollte dem ihm eine Grundlösung für weitere Probleme dieser Art geben, damit der bei der nächsten Aufgabe nicht wieder ankommt. Außerdem es wird schwierig bei komplizierten Funktionen es mit logischem Denken zu lösen.

    Zu deiner Zaun-Problematik: Am größten ist das Feld wenn man sich selbst mit dem Zaun einwickelt und definiert dass man außen ist - soviel zur Logik.

    Nebenbei war das Rechnen hier so schnell erledigt, dass man es denkenlos kaum langsamer gemacht hat als mit Überlegungen - und wie wolltest du ihm das mit 50-50 denn vermitteln? Ihm erzählen dass die Summe zweier Quadrate minimal werden wenn ihr Abstand lineare zueinander ansteigt bzw absteigt, minimal wird wenn ihre Differenz minimal wird? Bis du das vermittelt hast, hättest die Aufgabe rechnerisch schon dreimal gelöst.

    1.Lösung: 1. Post (mit Ableitung)

    2.Lösung: Scheitelpunkt:
    f(x) = 2x² - 200x + 10000 => (x-50)^2 + trivialer rest den ich zu faul bin auszurechnen

    3.Lösung: Das Problem lässt sich auf Pythagoraus zurückführen:
    a² + b² = c²
    Wenn man nun ein Dreieck betrachtet, muss also damit a² + b² minimal wird muss c², und damit c, minimal werden, c kann man mit dem Sinus definieren: c = a/sin(a). So, sin(a) ist im Nenner, es heißt [sin definiert zwischen 0 und 1], bei einem kleinen Wert als 1 wird c größer, also muss sin(a) 1 werden, das passiert bei 45°; da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist der andere Winkel ebenfalls 45°; und damit ist es ein gleichschenkliges Dreieck: a und b müssen gleich lang sein

    4.Lösung: Binomische Formeln (z² steht für x²+y²):
    z² = z²
    (z+n)(z-n) = z² - n²

    Wobei dieser Ausdruck mit 100 gleichgesetzt werden müsste, also n² auf die andere Seite muss und dadurch addiert wird => Wert wird größer als 100, also stellt z² die kleinste Lösung dar.

    ---

    Nichts kompliziertes, aber logisch.
     
  18. Video Script

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