[mathe] kettenregel fuer ableitung

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von J0rd4N, 6. Oktober 2006 .

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  1. #1 6. Oktober 2006
    ham in mathe inner 12ten klasse gymnasium gerade ableitungen und heute was ueber die kettenergel gelernt. nur leider will ichs einfach nich gebacken bekommen, hab auch schon saemtliche seiten angeguckt im inet (CLiCK, CLiCL, CLiCK, nur es will einfach nich in meinen kopf wie ich da jetzt genau vorgehen soll!

    der lehrer hat immer was von "das "innerste" immer zuerst bearbeiten" geredet und dann "nach aussen weitermachen" gesagt.

    in einem link da oben steht das ja auch schoen beschrieben:
    hier faengts schon an, aeussere/inner funktion abgeleitet und dazwischen multipilziert ergibt
    cos (2x) aber nich cos (2x) ∙ 2 .. woher kommen diese?

    auf dem arbeitsblatt was wir bekommen haben sind nun mal 3 funktionen deren ableitung wie bestimmen sollen:

    sin (3x)
    e^(x^2)
    (x^2+5x)^2

    die ergebnisse sind laut derive (so n matheprogramm fuer pc):

    3*cos*3x
    2*x*e^(x^2)
    2*x*(x+5)*(2x+5)

    schoen und gut, aber ich weiss leider nich wie ich da von hand drauf komme .. weiss da wer bescheit und kann helfen?
     

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  3. #2 6. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung

    Die innere Funktion ist hierbei 2x... also immer das, was in der Klammer steht.
    und die Ableitung von 2x ist 2 (klar oder?).
    Die äußere Ableitung ist einfach nur das was vor/hinter der Klammer steht (und, wenn vorhanden, noch der Exponent von einer Klammer... sagen wir mal f(x)=(2x)^2 => f'(x)=2*(2x)*2 = f'(x)=4*(2x) )

    Allg. Form der Kettenregel:

    f(x)= u (v(x))
    => f'(x)= u'(v(x))*v'(x)
     
  4. #3 6. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung

    Die einfachste Verkettung besteht aus einer inneren Funktion v mit einer äußeren Funktion u:

    f(x) = u(v(x))

    Für deren Ableitung gilt:
    f`(x)=u´(v(x))*v´(x)

    sieht schwerer aus als es ist.
    an den beispielen wird es deutlich.

    sin (3x)
    in diesem fall ist v=3x und u=sin
    nun musst du die ableitungen bilden also v´=3 und u´=cos
    nun setzt du deine lösungen in die musterformel ein.
    und du bekommst
    f´(x)= cos(3x)*3
    wie in der lösung
    für die anderen beispiele machst du dasselbe.

    e^(x^2)
    v=x²u=e v`=2x u`=e
    somit
    f`= 2*x*e^(x^2)

    das dritte beispiel dürfte du allein hinbekommen.
    du musst einfach stur nach de rformel vorgehen
     
  5. #4 6. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung

    Du glaubst gar nicht wie froh ich bin, dass hier wieder mal jemand *von Hand* drauf kommen will... sollte die Menschheit doch noch eine Chance haben?
    Ist ganz einfach:
    f(x)=sin(3x) besteht aus den Funktionen v(x)=3x und u(v(x))=sin(v(x)). Also innere Ableitung v'(x)=3 und äußere Ableitung u'(v(x))=cos(v(x)). Die zwei multipliziert ergibt dein f'(x)=3cos(3x).

    edit:
    Heilandsack - schon wieder zu spät! Und diesmal waren sogar 2 schneller als ich...ich sollte wirklich öfters auf F5 drücken...
    :cool:
     
  6. #5 6. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung

    danke das ihr helft, gute bewertungen sind alle raus ..

    Allg. Form der Kettenregel:

    f(x)= u (v(x))
    => f'(x)= u'(v(x))*v'(x)

    versuche ich mal zu erklaeren wie ich die gerade sehe .. also man nimmt einfach "u", welches das iNNERSTE einer funktion ist, also das welches man zuerst loesen wuerde wenn man die funktion ausrechnen sollte und leitet es ab!

    dann multipliziert man dieses "u'" mit "v(x) (gesprochen v VON x)", welches wohl das "glied" ist mit dem x dran (auch wenns nur das "x" als hochzahl hat).

    das ganze dann multiplizieren mit dem v(x) wieder nur die ableitung also v'(x)

    mal ein kleines beispiel, gegeben ist
    e^(x^2)

    dann muesste ich jetzt u (also das innerste glied, das was ich zuerst ausrechnen wuerde) nehmen, und das waer doch x^2.

    davon die ableitung ist 2x.

    okay, jetzt die 2x mit v(x) mal nehmen.

    2x*e^(x^2)

    und jetzt mal v'(x):

    2x*e^(x^2) * // moment mal, v'(x) .. das is ja die ableitung von e^(x^2) .. und genau diese will ich doch ausrechnen .. das is n teufelskreis :D




    wie ihr seht komm ich also mit der allgemeinen regel nich weiter ^^



    ja, innere ableitung ist 2
    auessere ableitung ist cos

    die beiden dinger multipliziert ergeben doch nur cos (2)
     
  7. #6 7. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung


    Au contraire - schau dir die allgemeine Regel mal GANZ GENAU an!
    Da steht aus f(x)=u(v(x)) wird f'(x)=v'(x)*u'(v(x))
    und nicht etwa f'(x)=v'(x)*u'(v'(x)) oder f'(x)=u'(v'(x)).


    edit:
    und zum Thema e-Funktion: Der Teil sieht nach dem Ableiten *immer* so aus wie vorher - das hat die e-Funktion so an sich. War also richtig.

    edit2:
    Falls das nicht hilft, mal ich's dir auf. Einfach Bescheid geben.
     
  8. #7 7. Oktober 2006
    AW: [mathe] kettenregel fuer ableitung

    du hast recht, ich habs wohl gestern abend uebertrieben mit dem zeug, ich habs jetzt >>

    das v ist also bei dem beispiel e^(x^2) das e. und ja es ergibt sich dann das "innerste" glied u von selbst das sind die x^2.

    also ich hab jetzt
    e^(x^2)*2x rausbekommen.

    und yuhu, das stimmt laut derive sogar
     

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