Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von ttrottell, 9. Juli 2011 .

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  1. #1 9. Juli 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    /Aufgabe is folgende:
    [​IMG]

    hey, ich muss kritische stellen finden.

    Funktion lautet f(x,y)=(x²+y²-1)x bzw x³+xy²-x


    Nun muss ich doch den Gradient f(x,y)=0 setzen. aber wie macht man das, wenn es noch 2 verschiedene Variabeln gibt?

    [​IMG]
     

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  3. #2 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    äh diese schreibweise eine funktion hab ich ja noch NIE gesehn!?

    is das wirklich so im buch?

    ansonsten kann ich dir mal vorschlagen beide zeilen getrennt zu schrieben:

    3x^2+y^2-1=0
    2xy=0

    dann kannst auflösen und ausrechnen... 2 gleichungen und zwei unbekannte aber glaub nicht dass das der sinn der aufgabe ist!?


    greetz lég


    ah jetz hab ich das erst genau gesehn was du oben geschrieben hast:

    du musst y auf die linke seite bringen dann kannst du f(x) schreiben und hast dann rechts nur nch x stehen!?

    weisst du was ich meine!?

    und was verstehst du eigentlich unter kritische stellen!? x geht gegen unendlich und minus unendlich!? funktion wird null!? definitionslücken ( hier nicht vorhanden )


    greetz
     
  4. #3 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden


    ah, das isses :D Habs jetzt so gemacht und es scheint zu klappen:

    aus der 2. zeile sieht man ja, dass entweder x oder y 0 sein muss. das hab ich jetzt in die 1. zeite eingesetzt. einmal x=0 und einmal y=0. bei jedem kommen 2 werte raus (da wurzzel (+/-)). würde auch soweit mit meiner lösung überein stimmen. bin grad allerdings no recht unsicher ob das hier jetzt grad zufällig geklappt hat..
     
  5. #4 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    darf ich mal fragen wieso du überhaupt diese komische schreibweise mit den klammern hinzugefügt hast!?

    was ist das denn? vllt kenn ich das (noch) nicht?!


    is das für die schule oder studium? welche klasse oder welches studium welches semester!?


    greetz
     
  6. #5 9. Juli 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    lern grad auf meinen HM 2 schein

    Aufgabe is folgende:
    [​IMG]

    kannst du mir zufällig noch sagen wie man die Nullstellenmenge herrausbekommt? (bzw der ganze kreis) check da net was sie von mir wollen. Nullstelle is ja noch halbwegs klar, aber wie kommen die auf die + - usw ?
     
  7. #6 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    ja anscheinend wollen sie alle schnittpunkte mit den achsen

    und die funktion ergibt nen kreis wie die skizze zeigt ;)


    du musst die obere funktion einmal nach x auflösen und einmal nach y, dann hast du einmal eben die x und einmal die y achsen schnittpunkte

    du bekommst deshalb immer zwei werte raus weil du erstens für jeden x wert 2 y werte hast und für jeden y wert zwei x werte. das ist deshalb so weil beide variablen im quadrat virhanden sind und wenn du auflöst dann musst du irwann die wurzel ziehen und dann kommt die lösung eben einmal mit pus und einmal mit minus raus!? verstehst!?


    weisst du was ich mein? ich bin nicht so gut im erklären haha.. sry


    greetz
     
  8. #7 9. Juli 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden



    [​IMG]

    was sagt mir das jetzt?

    (wo kann ich nochmal solche mathematische sachen sauber darstellen und als bild ausgeben lassen?)

    /e. ok hab hab jetzt als nullstellenmenge einen kreis mit radius 1 um den ursprung UND für x=0 oder?
     
  9. #8 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    jetzt bin ich selbst gerade verwirrt haha

    mich macht diese komische schreibweise fertig!!! ;)

    ich meinte oben dass du die funktionen umformen sollst und y bzw x auf eine seite bringen sollst, sodass einmal y=... und einmal x=... da steht... und dann beide gleichungen gleich 0 setzen... also 0=.... und nochmal 0=.... dann bekommst du normalerweise 2 werte mit y und zwei werte mit x oder!?


    ich checks grad glaub ich selbst nicht mehr aber vllt musst dus einfach mal ausrechnen, bin grad zu faul dazu... ;)


    äh eingeben und ausrechnen lassen im inet geht auf wolframalpha

    http://www.wolframalpha.com/input/?_=1310229366176&i=x%C2%B3%2bxy%C2%B2-x&fp=1&incTime=true


    greetz
     
  10. #9 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    Solche Sachen kannst du mit Latex oder Word oder Openoffice oder sonstwas darstellen, kostet allerdings ein bisschen mehr zeit.

    Um die Funktion "lesen" zu können (damit meine ich zu wissen wie sie aussieht) braucht man entweder viel Erfahrung oder man muss sie wie mans schon in der Schule gelernt hat analysieren. Sprich: Nullstellen, Extremwerte, etc. bestimmen. Funktionen die du aus dem R² im R abbildest kannst du dir vorstellen wie ein Teppich. Du weist jedem Punkt in deiner x-y-Ebene einen durch die Funktion vorgegebenen Wert zu. Das ist wie in der Schule, nur dass du hier auch noch y-Werte einsetzen kannst.
    x²+y²=r² ist z.b. eine typische Kreisgleichung und entspricht der Nullstelle der Funktion f(x,y)=x²+y²-r², wobei r in deinem Falle 1 ist. Daher kommt schonmal der Kreis. Das dranmultiplizierte x bestimmt dann halt einfach das Vorzeichen.
    Da du jetzt 2 Variablen hast, hat die Funktion selbstverständlich auch 2 Steigungen, nämlich die in x und in y-Richtung. Dafür steht der Gradient und hat dementsprechend 2 Koordinaten. Um die grad(h) = 0 zu bestimmen gibt es jetzt viele Lösungen.
    Zu deinem ersten Beispiel mit 3x²+y²-1 = 0 und 2xy = 0 :
    2xy = 0, ist für x = y = 0 erfüllt.
    Also setzt du in deine erste Funktion x = 0 und bestimmst die zugehörige y-Koordinate der Nullstelle. Anschließend setzt du y = 0 ein und bestimmst zu deinem y-Wert zugehörige y-Koordinate.
    Für x = 0 steht da dann y² -1 = 0 <=> y² = 1 => y=+-1. Also hast du 2 Nullstellen, nämlich (0,1) und (0,-1). Für y gehts dann ganz analog.

    ps: Dein Paintzeugs ist sehr hässlich. Poste halt die Aufgaben direkt oder schreibs einfach ganz normal als Text.
     
  11. #10 9. Juli 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    genau das versteh ich net...

    Schau mal bitte hier:
    [​IMG]

    beim 2. Schaubild hab ich mal das (*)x weggelassen. würde hier so die nullstellenmenge aussehen? Wenn ja, wie komm ich dann drauf, dass das schaubild meiner ursprünglichen funktion gerade so aussehen muss?

    das ist jetzt klar.

    kannst du mir vll noch sagen wie ich genau jetzt weiß, ob es ein extrempunkt oder wendepunkt ist? ich hab hier zwar einiges an material, aber komm irgendwie nicht klar. einmal redet man von eigenwerten und einmal reicht es wenn die 2. partielle ableitung größer 0 ist usw... Meinst du du könntest mir an einem Punkt, sagen wir (0/1) mal vorrechnen, wie ich sehe, dass es ein Sattelpunkt ist?
     
  12. #11 9. Juli 2011
    AW: Mathe: Kritische Stellen einer Funktion(x,y) finden

    Ja für x²+y²-1 ist das halt einfach der kreis. Setzen wir mal den Punkt (0,0) ein. Wir erhalten -1 als Funktionswert. Das kannst du für den gesamten Kreis machen und kommst im inneren auf ein negatives Vorzeichen. x²+y² ist sowas wie der Radius. Wenn der Radius von 1 überschritten wird wechselt demnach das vorzeichen weil x²+y² dann > 1 sind. Durch das *x drehst du dann einfach das Vorzeichen auf der linken Hälfte um.

    Zu deiner nächsten Frage: Das mit der 2. Ableitung macht man nur im 1D Fall. Die zweite Ableitung dieser Funktion entsprecht dem zweiten Gradienten für mehrdimensionale Funktionen.
    h ist skalar -> grad(h) ist ein Vektor -> grad(grad(h)) ist eine Matrix. Bei dieser Matrix kannst du nicht einfach überprüfen ob sie größer oder kleiner Null ist. Das musst du dann mit dem Hurwitz-Kriterium machen indem du über die Determinante die Definitheit untersuchst.
    Definitheit – Wikipedia
     

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