Mathematik Hausarbeit Finanzmathe, komme nicht weiter

Einführung Aufgaben 3.1 - 3.3
Betrachten Sie folgende finanzmathematische Funktionen (vgl. Kap. 2.3):

a) k1(m,i,r) = (vgl. Seite 88)


b) k1v(m,i,r) = (vgl. Seite 88)
;

c) k1einmal(t,i,r) = (vgl. Seite 88)


d) rentenendwert(k0,n,r,i,t) = Kn = (vgl. Seite 84)

Endbetrag = über n Jahre (exponentiell, d.h. zinseszinslich) aufgezinstes Anfangskapital K0 ; Rentenendwert bei n regelmäßigen Raten i.H.v. r;
t = 0 nachschüssig, t = 1 vorschüssig; Jahreszinssatz i

e) rentenbarwert(k0,n,r,i,t) = K´0 = (vgl. Seite 81)

Anfangskapital K0 (aktueller Wert); auf den heutigen Zeitpunkt abgezinster Rentenendwert nach d (n regelmäßige Raten i.H.v. r; t = 0 nachschüssig, t = 1 vorschüssig); Jahreszinssatz i.

Aufgabe 3.1 (12 P)
Stellen Sie unter ausschließlicher Zuhilfenahme der obigen Funktionen k1(m,i,r); k1v(m,i,r); k1einmal(t,i,r); rentenendwert(k0,n,r,i,t); rentenbarwert(k0,n,r,i,t)
allgemein gültige Ausdrücke zur Berechnung folgender Endwerte - Kapital plus Zinsen nach n Jahren - zusammen (keine Zahlen einsetzen, außer t = 0 oder t = 1 in rentenendwert oder rentenbarwert)! Auf dem Zeitstrahl gibt es n + 1 Jahre, angefangen mit dem ,,Vorjahr 0".
HINWEIS. Beispiel einer ähnlichen Aufgabe. Würde am Ende des Vorjahres eine Kapitalsumme gleich k0 eingelegt werden, dann käme am Ende der Laufzeit (nach n weiteren Jahren) rentenendwert(k0,n,i,0,0) zusammen. Würde am Ende des Vorjahres gar nichts eingelegt werden, dafür aber jedes Jahr (1 bis n) vorschüssig eine Summe i.H.v. r EUR, so käme nach n Jahren rentenendwert(0,n,i,r,1)
zusammen, usw. Ein zusammengesetzter Ausdruck entsteht nun etwa, wenn k0 selbst wieder als Funktion bestimmter Parameter ermittelt wird!

3.1.1) Im Jahr 0 werden m nachschüssige Monatsraten in Höhe von r EUR eingezahlt, ansonsten nichts mehr. Unter Verwendung von k1(m,i,r); k1v(m,i,r); k1einmal(t,i,r); rentenendwert(k0,n,r,i,t) und/oder rentenbarwert(k0,n,r,i,t) geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f311(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________
3.1.2) Im Jahr 0 werden m vorschüssige Monatsraten in Höhe von r EUR eingezahlt, ansonsten nichts mehr. (Unter Verwendung von ... usw. wie oben) Geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f312(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________
3.1.3) Im Jahr 0 wird zur Jahresmitte (30.06) eine Einmalzahlung zu r EUR eingezahlt, ansonsten nichts mehr. (Unter Verwendung von ... usw. wie oben) Geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f313(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________

Aufgabe 3.2 (12 P)
Stellen Sie unter ausschließlicher Zuhilfenahme der obigen Funktionen k1(m,i,r); k1v(m,i,r); k1einmal(t,i,r); rentenendwert(k0,n,r,i,t); rentenbarwert(k0,n,r,i,t)
allgemein gültige Ausdrücke zur Berechnung folgender Endwerte - Kapital plus Zinsen nach n Jahren - zusammen (keine Zahlen einsetzen, außer t = 0 oder t = 1 in rentenendwert oder rentenbarwert)! Auf dem Zeitstrahl gibt nun aber n Jahre (Jahr 0 wie in Aufgabe 3.1 gibt es nicht!).

3.2.1) In jedem Jahr werden m nachschüssige Monatsraten in Höhe von r EUR eingezahlt, sonst gar nichts. (Unter Verwendung von ...wie oben) Geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f321(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________
3.2.2) In jedem Jahr werden m vorschüssige Monatsraten in Höhe von r EUR eingezahlt, sonst gar nichts. (Unter Verwendung von ...wie oben) Geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f322(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________
3.2.3) In jedem Jahr wird zur Jahresmitte (30.06) eine Einmalzahlung zu r EUR eingezahlt, sonst gar nichts. (Unter Verwendung von ...wie oben) Geben Sie einen zusammengesetzten abstrakten Ausdruck für den Endwert zum Ende des Jahres n:
f323(m,r,n,i) =

(weitestgehend vereinfachen!)
________________________________________________________________________




Aufgabe 3.3 (12 P). Berechnen Sie für alle 6 Funktionen den Endwert zum Ende des Jahres n = 3 für den Fall, dass die Summe der m unterjährigen Zahlungen - bzw. die Einmalzahlung - 240*22/14 EUR beträgt (2 Nachkommastellen) und m = 12 bzw. t = 180 (in den Funktionen k1, k1v und k1einmal), wobei i = 0,04 p.a.

3.1.1) _____________________ 3.2.1) _____________________


3.1.2) _____________________ 3.2.2) _____________________


3.1.3) _____________________ 3.2.3) _____________________

(jeweils 2 Nachkommastellen)

Einführung Aufgabe 3.4 - 3.6
Es wird ab 01.01 ein Kredit aufgenommen und dem Gläubiger ab sofort unter Einbeziehung der jährlich berechneten Zinsen in vorschüssigen Monatsraten zurückgezahlt (linear / einfach verzinst für unterjährige Zahlungen; exponentiell / zinseszinslich verzinst für volle Jahre). Insgesamt dauert die Rückzahlung
n = 8+1 Jahre.
In jedem Jahr dieser Gesamtlaufzeit n erfolgt eine Rückzahlung in jeweils
m = 12 vorschüssigen Monatsraten
Die Höhe der konstanten Monatsrate beträgt
r = (14-1)*315,90/(8+1) EUR
(rechnen Sie im Allgemeinen bis zu 4 Nachkommastellen genau, auch wenn zunächst nur eine Nachkommastelle reicht; d. h. rechnen Sie bis zu 5 signifikanten Ziffern von links ab gerechnet: es hat z = 5,6071 gleich viel signifikante Ziffern wie 10000*z = 56071).
Der (prozentuale) Zinssatz auf Jahresbasis beträgt
p = (8+1)%.

Aufgabe 3.4 (12P)
Betrachten Sie einen Zeitraum von 12 Ratenzahlungen (ein beliebiges Jahr).
Berechnen Sie die (konforme) Jahresersatzrate, d. h. das ,,nur auf dieses Jahr bezogene Endkapital (die zurückgezahlte Summe inklusive Zinsen) zum 31.12"!

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______________________________________________________________________________(3 Nachkommastellen)
Hinweis: Die konforme Jahresersatzrate wird nicht wirklich gezahlt und heißt auch fiktive Jahres¬end¬zahlung: eine rechnerisch aus den 12 Raten des Jahres folgende ,,(nachschüssige! : 31.12) Zwischensumme", einschließlich unterjähriger Verzinsung.

Aufgabe 3.5 (10P)
Welche Einmalzahlung des Schuldners zum 01.01 eines beliebigen Jahres gilt als finanzmathematisch gleichwertiger Ersatz für die 12 vorschüssigen Raten?

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______________________________________________________________________________(3 Nachkommastellen)

Aufgabe 3.6 (12P)
Berechnen Sie anhand der Jahresersatzrate zum 31.12 - nach Aufgabe 3.4, nicht 3.5 - den Rentenendwert nach n Jahren!

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______________________________________________________________________________(3 Nachkommastellen)

Aufgabe 3.7 (Ab hier neues Thema!)
Ein Unternehmer investiert eine Summe von K0 = 14*100 EUR zum Zeitpunkt t0 (Ende des Vorjahres) und erwartet in den nächsten drei Jahren netto Einzahlungen (Einzahlungsüberschüsse) in Höhe von
14*30 EUR zum Zeitpunkt t1 (zum Ende des ersten Jahres)
14*40 EUR zum Zeitpunkt t2 (zum Ende des zweiten Jahres)
14*50 EUR zum Zeitpunkt t3 (zum Ende des dritten Jahres)
Betrachten Sie diesen Vorgang auf folgende 2 Arten:

Vorgang 1: Anstelle einer Investition könnte der Unternehmer das Anfangskapital K0 auf einem Sparkonto einlegen, so dass daraus nach n = 3 Jahren (zum Zeitpunkt t3) ein Spargut¬haben Spar(i) wächst, das neben K0 die zum - uns vorerst unbekannten - Zinssatz i = i* jährlich gutgeschriebenen Zinsen umfasst; die am Ende eines jeden Jahres angefallenen Zinsen wurden mit verzinst (zinseszinsliche Verzinsung).



Aufgabe 3.7a (3P) . Stellen Sie die allgemeine Formel für das Sparguthaben Spar(i) mit i als einzigem Unbekannten auf!

Spar(i) =
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Vorgang 2: Investiert der Unternehmer tatsächlich das Anfangskapital K0, so möchte er zum - uns vorerst unbekannten - Kalkulationszinssatz i = i* nach n = 3 Jahren (zum Zeitpunkt t3) zumindest die gleiche Summe K3 erwirtschaftet haben wie ihm Vorgang 1 als Sparguthaben beschert hätte.

Aufgabe 3.7b (3P). Stellen Sie die allgemeine Formel für die gesamte erwirtschaftete Summe K3 = Endkapital(i) auf, wenn jede netto Einzahlung bis zum Zeitpunkt t3 zum Zinssatz i aufgezinst wird!

Endkapital(i) =
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Aufgabe 3.7c (4P). Definieren Sie die Vergleichsfunktion
fvgl(i) = Endkapital(i) - Spar(i)
in Abhängigkeit des Zinssatzes i und berechnen Sie daraus in allgemeiner Form die Ableitungsfunktion
d fvgl(i)
fvglabl(i) = ________
di
(beide als Polynom dritten Grades):

fvgl(i) =
_________________________________________________________________________________________________________________

fvglabl(i) =
_________________________________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.7d (2P). Die Grafik der Funktion fvgl(i) sollte in etwa folgendes Aussehen haben (exakt so wie hier für 1 anstelle von 14):

Erklären Sie durch eine einfache Berechnung und entsprechende Interpretation, warum für Zinssatz (x =) i = 0,00 gilt:
fvgl(0) = Endkapital(0) - Spar(0) = 140

Berechnung:
_________________________________________________________________________________________________________________

Interpretation:
_________________________________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.7e (2P). Aus der obigen Grafik kann man unmittelbar - auch auf Ihren Fall zutreffend - einen plausiblen ersten Schätzwert für die positive Nullstelle zu fvgl(x) ableiten! Wählen Sie einen solchen Startwert x1:
x1 = _______________
(1 Nachkommastelle)

Aufgabe 3.7f (4P).
Sie sollten nun mit der Newtonmethode den effektiven Jahreszins (x =) i = i* berechnen, für den gilt fvgl(i) = Endkapital(i) - Spar(i) = 0! Führen Sie zwei Iterationen des Newtonalgorithmus durch und berechnen dabei jeweils die Näherungswerte x2 und x3 und die zugehörigen fvgl(x)-Werte!



Aufgabe 3.7g (2P). Bis zu welcher Genauigkeit eps = 1/10k (für ein bestimmtes k = 1, 2, 3, ...) wurde nun die Nullstelle der Vergleichsfunktion fvgl(x) bestimmt?

(Hochzahl k im Nenner von 1/10k) k = _______________

Aufgabe 3.8 (10P). Führen Sie für das Problem der Aufgabe 3.7 ein anderes Näherungsverfahren anhand der Regula Falsi (des Sekantenverfahrens) durch, wobei Sie in jedem Iterationsschritt
x1 als x-Wert mit negativem Ergebnis y1:=fvgl(x1) und
x2 als x-Wert mit positivem Ergebnis y2:=fvgl(x2)
für die Vergleichsfunktion
fvgl(x) := fvgl(x) = Endkapital(x) - Spar(x) (in Abhängigkeit des Zinssatzes x)
der Aufgabe 3.7c wählen. Sie berechnen dann stets eine potentiell neue Grenze zum Schätzintervall [x1, x2] über die Formel

und ersetzen am Ende des jeweiligen Iterationsschritts eine alte Grenze durch x0:
entweder x1:= x0 (und y1: = y0)
oder x2:= x0 (und y2: = y0)
in Abhängigkeit des Vorzeichens des neu berechneten Werts y0 := f(x0).
Wählen Sie anhand der Grafik in Aufgabe 3.7d geschickte Anfangswerte x1 und x2 und wiederholen Sie die Iteration bis zur dritten Neuberechnung (x0 und f(x0))!

Gesamte Berechnung: