Mathematikaufgabe zu Folgen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von raised.fist, 10. November 2009 .

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  1. #1 10. November 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    Hi,

    Wir haben grad das Thema Folgen. Was ne Folge ist, versteh ich. Aber wir haben Aufgaben dazu bekommen, da weiß ich nicht recht was ich machen soll.

    Hier eine Beispielaufgabe:


    Kann mir jeman die fett markierten Wörter erklären und das Beispiel dazu rechnen?


    mfg und bw is drin...
     

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  3. #2 10. November 2009
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    monotonie:

    wenn der x-wert steigt und der y-wert steigt --> monoton steigend
    wenn der x-wert steigt und der y-wert fällt --->monoton fallend

    beschränktheit:
    nehme mal an es geht um definitionslücken. die kriegste immer wenn im nenner 0 steht, weil man ja nich durch 0 teilen kann. wenn z.b. im nenner x-2 steht, dann darf x nicht =2 sein weil sons 0 im nenner ständ.
     
  4. #3 10. November 2009
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    Welche x und welche y Werte?
     
  5. #4 10. November 2009
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    in deinem fall n und a wert.

    du setzt für n einen wert ein und gucks was für rauskommt.
    dann setzte ne größere zahl ein und vegleichs die werte.
    wenn der wert der für a rauskommt auch steigt isset monoton steigend, wenn er kleiner wird isses monoton fallend.
     
  6. #5 10. November 2009
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    Ne, mit Beschränktheit meint man, dass die Y-Werte einer Funktion einen bestimmten Y-Wert nicht übersteigt oder kleiner als der Wert wird.
    Bsp: Die Funktion f(x)=x² kann keinen negativen Wert annehmen, egal wie groß x ist
    Bsp2: Die Funktion f(x)=Wurzel(x) nähert sich auch einer Obergrenze
     
  7. #6 10. November 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 15. April 2017
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    OK:
    Monotonie heißt entweder monoton steigend oder fallend, wurde ja bisher noch nicht ganz auf Folgen gemünzt:
    • fallend: a_n > bzw. >gleich a_n+1 ; in Worten: das folgende Folgenglied ist kleiner als das vorherige
    • steigend (umgekehrt): a_n < bzw. <gleich a_n+1 ; in Worten: das nachfolgende Folgenglied ist größer als das vorherige
    Mehr Infos: Folge (Mathematik) – Wikipedia

    Um das nachzuprüfen schaust du die die Folgen an:
    Dazu betrachtet man sich z.B. den Quotienten der beiden Glieder & versucht diesen dann mit 1 abzuschätzen.
    ODER: Du stellst die beiden gegenüber & formst solange um, bis was wahres da steht, natürlich musste du dann später das richtige Zeichen einsetzten, also > oder < ...
    Damit es etwas einfacher wird & nicht so viel Tipparbeit, benutzen wir für den Nenner eine binomische Formel:
    %5CLARGE%5C%21a_n%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5E2%2B1%7D%7Bn%5E2%2B2n%20%2B1%2B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%.gif
    {img-src: //www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21a_n%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5E2%2B1%7D%7Bn%5E2%2B2n%20%2B1%2B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5E2%2B1%7D%7B%28n%2B1%29%5E2%2B1%7D.gif}


    Jetzt erkennt man eigentlich etwas besser, dass der Nenner größer als der Zähler ist ... Also ist das ganze Dingens schon mal < 1, es ist also beschränkt.

    Konvergenz:
    Dazu nutzt man einen einfachen Trick & klammert einfach n^2 vor, d.h.
    %5CLARGE%5C%21a_n%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D.gif
    {img-src: //www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21a_n%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%5E2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%5E2%7D%7D.gif}

    Jetzt lässt man n gegen unendlich laufen & sieht die Brüche im Zähler & im Nenner laufen gegen 0, d.h. der gesamte Bruch, sprich deine Folge geht gegen 1.

    Also wird das ganze schätzungeweise auch noch durch 1 beschränkt, jetzt müsste man noch rausfinden, ob's monoton steigend oder fallend ist ...
     
  8. #7 10. November 2009
    AW: Mathematikaufgabe zu Folgen

    sie ist konvergent gegen 1 (die dividierst die ganz gleichung durch n² und lässt n gegen unendlich gehen. alle brüche mit n im nenner weden dadurch 0 und 1/1 bleibt übrig)

    die beschrämktheit bekommst du indem du die funktion ableitest und 0 setz. dadurch errechnest du dir eine mögliche maximalstelle. wenn so eine existiert ist die funktion dort beschränkt.
    also einmal nach der quotientenregel ableiten ergibt
    (2*n² + 2*n -2) / (n^4 +2*n^3 + 8*n² * 8*n + 6) = 0
    diese gleichung ist nur null, wenn der zähler null ist --> quadratische gleichung lösung ergibt 0,618 und -1,618
    die funktion nimmt nur werte zwischen diesen beiden maximalwerten an

    also deine reihe ist monoton steigend (wie der kollege es vorher beschrieben hat) (aber nur für: -unendlich < n < -1,6 und 0,6 < n < +unendlich)
    Lg annan
     

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