Poisson Gleichung

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von allstar, 18. August 2011 .

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  1. #1 18. August 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    kann mir einer sagen wie man von der ersten auf die zweite Gleichung kommmt?


    [​IMG]
     

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  3. #2 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    "div" und "grad" sind beides Differentialoperatoren.
    D.h., dass sie eine Differentiation repräsentieren und oftmals zur Verkürzung der Schreibweise eingesetzt werden.

    Im Eindimensionalen Fall sieht das ganze einfach aus (siehe deine Gleichung). Doch wenn mehrere Dimensionen vorhanden sind, muss für jede Dimension "einzeln" differenziert werden.
    Div: Divergenz (Mathematik) – Wikipedia
    Grad: Gradient (Mathematik) – Wikipedia

    Bsp. für Grad für drei Dimensionen:
    [​IMG]
    Dabei stellt ein Summand die Differentiation in eine Dimension dar.

    Ähmlich ist das bei der Divergenz (DIV):
    [​IMG]

    Durch die beiden Operatoren kommt eine "doppelte" Differentiation zustande, welche man auch so schreiben könnte:

    d/dx * d/dx * Phi = ....
    was dann wieder
    d²/dx²*Phi =.... (deine Gleichung)
    ist.


    Ich hoffe das hilft dir etwas zum Verständis.
    Für ausführlichere Erklärungen bleibt mir leider gerade keine Zeit.


    Gruß
     
  4. #3 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    danke, das hat mir jetzt schon mal sehr weitergeholfen. hab mir deine beiden verweise auf wikipedia angeguckt und irgendwie werde ich aus der erklärung nicht wirklich schlau. wo ist der unterschied dieser beiden operatoren zueinander und worin besteht der unterschied zu der herkömmlichen ableitung die man aus der schule kennt?

    nach meinem jetzigen wissensstand würde ich jetzt einfach sagen, dass div und grad
    ableitungen für den ein- bis dreidimensionalen raum sind.


    mfg allstar
     
  5. #4 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    Rein mathematisch ist der Unterschied das grad ein Differentialoperator ist, der dir zu einem Skalarfeld, einen Vektor zurückgibt, während div dir ein Skalar (nur einen Zahlenwert) zu einem Vektorfeld zurückgibt.

    grad gibt dir den Vektor zurück, der in die Richtung der Änderung zeigt.
    Find das Beispiel von Wikipedia eg. ganz einleuchtend:
    div hingegeben gibt dir zu einem Vektorfeld nur eine Zahl zurück. Diese Zahl gibt dir die "Quellenstärke" an. Wenn du z.B. ein Fluss der im Kreis fließt als Vektorfeld interpretierst und das Wasser sich nicht zusammenpressen lässt, dann fließt an jeder Stelle gleich viel Wasser. D.h. es gibt keine Quelle, dementsprechen wäre div hier Null.
    Wenn du aber z.B. einen Fluss inkl. Quelle betrachtest und du davon ausgehst das das Wasser aus der Quelle aus dem nichts kommt, also dort erzeugt wird, was sich im Vektorfeld dadurch zeigen würde das alle Pfeile von diesem Punkt weg zeigen, dann wäre div hier >0.
    Gäbe es einen Punkt wo alle Pfeile hin zeigen (Senke), also das Wasser würde dort hinfließt und dort "verschwindet", dann wäre div<0.

    Gibt es mehrere Punkt kommt es logischerweise drauf an, ob sie sich kompensieren oder ob die Quellenstärke z.B. insgesamt größer als die Senkenstärke ist. Wenn genausoviel Wasser erzeugt wird, wie "vernichtet" wird, dann wäre div wieder Null.

    Dementsprechend kannst du auch die Poisson Gleichung interpretieren. grad(phi) gibt dir zu gegebenem Potentialfeld das Vektorfeld (meist das Kraftfeld (E-Feld/Gravitationsfeld) zurück, von diesem Berechnest du dann die Quellenstärke durch div. Im Elektrotechnischen Fall gibt es dir dann die Ladung zurück, die du brauchst um diese Quellenstärke zu erreichen, im Mechanischen Fall gibt es dir die Masse zurück die du benötigst, um dieses Gravitationsfeld (Kraftfeld) zu erzeugen.

    Wenn du also die Potentialverteilung der Erde hast und davon die Poissongleichung ausrechnest, kriegst du die Masse (abgesehen von einer Konstanten).

    Warum das im eindimensionalen Fall zu trivial ist, solltest du sehen, wenn du die Operatoren einfach mal auf eine eindimensionale Funktion anwendest.

    f(x)=x^4
    grad(f)=4*x^3*einheitsvektor von x
    div(grad(f))=12x^2 -> was nichts anderes als df(x)/dx^2 ist, also f(x) zweimal abgeleitet.
     
  6. #5 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    ok dein beispiel hat mir auf jedenfall schon einiges klarer gemacht. kannst du mir jetzt vielleicht noch ein beispiel für eine zwei und dreidimensionale funktione geben?


    mfg allstar
     
  7. #6 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    Eine eindimensionale Funktion ist nur von einer Variablen abhängig -> f(x)
    Zwei Dimensionen -> f(x,y)
    Drei Dimensionen -> f(x,y,z)

    Meist sind das räumliche Koordinaten. Im letzten Fall z.B. gibst du [X,Y,Z]-Koordinaten an und kriegst einen Wert (Skalar) für genau diesem Punkt [X,Y,Z] im Raum zurück.
    Im eindimensionalen Fall hättest du dann keinen dreidimensionalen Raum sondern nur eine Linie. Mit der X Koordinate gibst du dann an wo du dich auf der Linie befindest und als Rückgabewert bekommst du genau wie im 3D Fall eine Zahl, die je nach Zusammenhang alles Mögliche bedeuten kann.

    Zum Zeichnen brauchst du dann quasi immer eine Dimension mehr, wie du es von der Schule kennst zeichnet man ja z.B. f(x)=x als Gerade in einen 2D Koordinatensystem. Sprich man nimmt sich eine zweite Achse Y um den Funktionswert f(x) darzustellen. Das geht bei einer zweidimensionalen Funktion auch noch, indem man die dritte Dimension (Z-Achse) hinzunimmt.
    Wenn du allerdings drei Dimensionen hast kannst du keine zusätzliche räumliche Achse mehr hinzunehmen. Verdeutlichen kann man den Funktionswert an bestimmten Stellen dann höchstens noch durch farbliche Unterscheidungen, z.B. große Wert=rot, Kleine=blau etc.

    Also nicht verwechseln. Das was man aus der Schule kennt f(x)=x ist eigentlich ein 1D Skalarfeld, obwohl man zum zeichnen 2 Dimensionen nutzt.

    Hier hast du z.B. ein 2D Skalarfeld f(x,y)=x^2+y^2
    [​IMG]
    hier wird dann wie erwähnt die Z-Achse als Funktionswert f(x,y) genutzt.( Die Farben haben hier keine Bedeutung, sind nur da damit die Räumlichkeit besser zu erkennen ist. )

    Im Falle des Vektorfeldes kriegst du im eindimensionalen Fall, einen Vektor mit einer Komponente zurück, im zweidimensionalen Fall einen mit zwei Komponenten und im dreidimensionalen einen mit drei Komponenten.
     
  8. #7 18. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    ok klingt einleuchtend, kannst du mir vielleicht noch für diese funktion den grad und div berechnen?`damit ich es einmal gesehen habe.




    mfg allstar
     
  9. #8 19. August 2011
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 15. April 2017
    AW: Poisson Gleichung

    divgrad0018ce4.jpg
    {img-src: //www.abload.de/thumb/divgrad0018ce4.jpg}
     
  10. #9 19. August 2011
    AW: Poisson Gleichung

    Schreib div(grad(phi)) halt mal komplett aus und kürz alle d/dy & d/dz Terme. Dann müssts halt rauskommen. Oder einfach auf ein Phi(x) anwenden und fertig.
     

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