#1 6. November 2012 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 15. April 2017 Guten Tag zusammen, ich bräuchte mal ein wenig Hilfe in linearer Algebra. Und zwar verstehe ich nicht ganz was eine Basis ist. Mein Prof meinte, dass man eine Basis von V hat, wenn die Vektoren gleichzeitig linear unabhängig und ein Erzeugendensystem sind. (Nachtrag: Jeder Vektor v {img-src: //elvis.inf.tu-dresden.de/images/math/003%20Element%20von.jpg} V besitzt eine eindeutige Darstellung als Lin.Komb. der Basis) Jetzt soll ich rechnerisch überprüfen ob diverse Vektoren eine Basis des ³ sind, so z.B. (1,1,1),(1,2,1),(1,3,1) Wir wissen wie man lineare Unabhängigkeit errechnet und wie man errechnet, ob man ein Erzeugendensystem vorliegen hat. Jetzt hab ich mir die Frage gestellt, ob es nicht immer so ist, dass wenn man n linear unabhängige Vektoren hat, diese eine Erzeugendensystem und damit eine Basis des ^n sind.. Dann müsste man ja lediglich die Dimension mit der Anzahl der Vektoren vergleichen und diese auf lineare Unabhängigkeit überprüfen. Irgendwie habe ich Schwierigkeiten mit der Definition einer "Basis" und weiß nicht genau, was ich mir darunter vorstellen soll, weswegen ich kompliziertere Aufgaben gar nicht berechnen kann.. Hoffe ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen.. Grüße, Das Omen
#2 6. November 2012 AW: Sind n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension immer ein Erzeugendensystem ein erzeugendensystem für Z ist z.b. M1={2,3} eine basis wäre M2={1} obwohl beide erzeugendensysteme sind und beide minimal sind(nimmt man die 3 aus M1 ist sie kein erzeugendensystem von Z), ist nur M2 hier eine basis, da die kardinalität anders als bei M1 minimal ist. du musst also zuerst zeigen, dass deine vektoren ein erzeugendes system bilden und anschließend zeigen, dass die kardinalität minimal ist. 1 Person gefällt das.
#3 6. November 2012 AW: Sind n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension immer ein Erzeugendensystem Tachchen, danke für die Hilfe. Die ganzen Zahlen Z sind eindimensional, somit stimmt bei deinem Beispiel ja meine Behauptung, dass n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension stets ein Erzeugendensystem bilden. Jeder weitere Vektor führt ja zur linearen Abhängigkeit (ich weiß, dass es dann trotzdem ein Erzeugendensystem ist). Und damit ist ja praktisch auch die minimale Kardinalität erreicht, denn wenn die Dimension größer als die Anzahl der Vektoren ist, kann es doch weder Basis noch Erzeugendensystem sein. Oder werfe ich die Begriffe hier wild durcheinander und verstehe nicht, worauf es ankommt? Grüße, Das Omen
#4 6. November 2012 AW: Sind n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension immer ein Erzeugendensystem Im Prinzip hast du Recht. Du musst bei einer Basis halt eigentlich zeigen dass es ein minimales Erzeugendensystem ist. Es gibt aber auch andere Definitionen zum Beispiel die einer maximalen linearen unabhängigen Teilmenge vom Vektorraum (d.h. würde ein weiteres Element zugefügt ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig), die dem entspricht was du grad Geschrieben hast. 1 Person gefällt das.
#5 6. November 2012 Zuletzt bearbeitet: 6. November 2012 AW: Sind n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension immer ein Erzeugendensystem So macht man das auch idR, da es leichter zu zeigen ist, dass es eine max. l.u. Teilmenge ist. Wie Korona ja auch schrieb, beschreiben "min. Erzeugendensystem" und "max. l.u. Teilmenge des VRs" das selbe, weshalb es genügt eines von beidem zu zeigen 1 Person gefällt das.
#6 6. November 2012 AW: Sind n linear unabhängige Vektoren in der n-ten Dimension immer ein Erzeugendensystem Ich möchte mich vielmals bedanken, ihr habt mir weiter geholfen, hab meine Übung nun fertig und den Anschluss gefunden.