[Tutorial] Zahlensysteme und rechnen mit Binärzahlen

Dieses Thema im Forum "Programmier Tutorials" wurde erstellt von SchOudeBläS, 20. November 2008 .

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  1. #1 20. November 2008
    Zahlensysteme und rechnen mit Binärzahlen

    1) Wie rechne ich eine Dezimalzahl in eine Binärzahl um?

    z.B.: Dezimalzahl: 198₁₀
    Jetzt diese Zahl solange durch 2 Teilen und sich die Reste aufschreiben bis das Ergebnis 0 ist.
    Also: 198 : 2 = 99 Rest 0
    99 : 2 = 49 Rest 1
    49 : 2 = 24 Rest 1
    24 : 2 = 12 Rest 0
    12 : 2 = 6 Rest 0
    6 : 2 = 3 Rest 0
    3 : 2 = 1 Rest 1
    1 : 2 = 0 Rest 1
    Jetzt nimmt man einfach die Reste und reiht sie hintereinander (siehe Pfeil oben):
    Ergebnis: 11000110₂


    2) Wie rechne ich eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um?

    z.B.: Binärzahl: 11001₂
    Da wir uns im Binärsystem befinden, rechnen wir mit der Basis 2. Die Dezimalzahl rechnen wir also wie folgt aus:
    Ergebnis: 1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 0 * 2^2 + 1 * 2^3 + 1 * 2^4 = 25₁₀


    3) Wie rechne ich eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl um?


    z.B.: Dezimalzahl: 198₁₀
    Jetzt diese Zahl solange durch 16 teilen und sich die Reste aufschreiben bis das Ergebnis 0 ist.
    Also: 198 : 16 = 12 Rest 8
    12 : 16 = 0 Rest 12
    Jetzt wird es ein wenig schwieriger. Da im Hexadezimalsystem 16 Zahlen ausgedrückt werden, benutzen wir von 10 – 15 die Buchstaben A – F.
    Rest 8 -> bleibt 8
    Rest 12 -> wird C
    Ergebnis: C8₁₆


    4) Wie rechne ich eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl um?

    z.B.: Hexadezimalzahl: E5A
    Da wir uns im Hexadezimalsystem befinden, rechnen wir mit der Basis 16. Die Dezimalzahl rechnen wir also wie folgt aus:
    A -> 10
    5 -> 5
    E -> 13
    Ergebnis: 10 * 16^0 + 5 * 16^1 + 13 * 16^2 = 3418₁₀


    5) Wie rechne ich eine Binärzahl in eine Hexadezimalzahl um?

    z.B.: Binärzahl: 11011100111₂
    Jede Zahl im Binärsystem spiegelt 1 Bit wieder. Im Hexadezimalsystem steht eine Zahl bzw. Buchstabe für 4 Bit. Daraus erschließt sich, dass sich eine Stelle der Hexadezimalzahl aus jeweils 4 Stellen einer Binärzahl zusammensetzen.
    Wollen wir also die Binärzahl 11001100111 in eine Hexadezimalzahl umwandeln müssen wir diese in 4er Blocks aufteilen. Mit der Einteilung fangen wir aber am Ende an.
    Also: 110 | 1110 | 0111
    Wie man sieht besteht der erste Block nur aus 3 Stellen. Es fehlt also eine. Diese freie Stelle sagt aus, dass sich dort eine 0 befinden würde. Daher können wir den Block einfach füllen.
    Also: 0110 | 1110 | 0111
    Jetzt errechnen wir für jeden Block wie bei 2) den Dezimalwert bzw. lesen ihn ab.
    Also: 0110 | 1110 | 0111
    6 14 7
    Diese Zahlen als Hexadezimalzahl hintereinander reihen und wir haben das Ergebnis:
    Also: 6 -> 6
    14 -> E
    7 -> 7
    Ergebnis: 6E7₁₆

    6) Wie rechne ich eine Hexadezimalzahl in eine Binärzahl um?


    z.B.: Hexadezimalzahl: D3
    Wir haben im Hinterkopf: 1 Stelle im Hexadezimalsystem entsprechen 4 Stellen im Binärsystem.
    Wir schreiben also für jede Stelle der Hexadezimalzahl die jeweilige Binärzahl mit 4 Stellen auf.
    Also: D₁₆ -> 1101₂
    3₁₆ -> 0011₂
    Diese Binärzahlen nun hintereinander reihen und wir haben das Ergebnis schon:
    Ergebnis: 11010011₂


    7) Wie addiere ich 2 Binärzahlen?


    z.B.: Binärzahl: 1010₂
    Binärzahl: 11011₂
    Diese Zahlen schreiben wir wie folgt untereinander und rechnen aus:
    1010
    +11011
    --------------------
    100101
    Es wird eine 1 zur nächsten Spalte übertragen falls eine 2 beim Zusammenrechnen der jeweiligen Spalte herauskommt.
    Ergebnis: 100101₂
    8) Wie subtrahiere ich 2 Binärzahlen?
    z.B.: Binärzahl: 11011₂
    Binärzahl: 1010₂
    Wir schreiben die Zahlen wieder untereinander:
    11011
    - 1010
    -------------------
    10001
    Wenn man zwei 1en voneinander subtrahiert, erhält man eine 0 ohne Übertrag. Wenn man 1 minus 0 rechnet, erhält man eine 1 ohne Übertrag und wenn man 0 minus 1 rechnet, erhält man eine 1 mit Übertrag. Diese 1 vom Übertrag stellt man wie in der normalen Subtraktion unten hin und rechnet einfach weiter.
    Ergebnis: 10001₂

    Hoffe es hilft euch.
     
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