Zeigen sie, dass für die Länge der Kettenlinie gilt:

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von xciver, 10. März 2009 .

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  1. #1 10. März 2009
    Hallo RR'ler

    hab mal ne frage...un zwar ist die Hausaufgabe folgender Beweis und ich weiß ich wie ich das machen soll...

    geg.: fa(x) = a* [ (e^(x/a) + e^(-x/a))] * 1/2


    und wir sollen beweisen dass für die bogenlänge gilt:

    wurzel( 1 + (fa'(x))^2 ) = fa(x) / a und a*fa'(x) = integral von wurzel ( 1 + (fa'(x))^2) dx

    bin für jede hilfe dankbar

    gruß
    xciver
     

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  3. #2 10. März 2009
    AW: Zeigen sie, dass für die Länge der Kettenlinie gilt:

    Deine Funktion ist bis auf einen Faktor a der Kosinus Hyperbolicus:
    fa(x) = a* [ (e^(x/a) + e^(-x/a))] * 1/2 = a cosh( x/a )

    Jetzt ist natürlich die Frage von wo bis wo die Länge berechnet werden soll, aber das ist erstmal nicht so wichtig

    Dann gilt für die Länge einer Kurve (Kurvenintegral
    [​IMG]

    γ ist dabei die Parametrisierung der Kurve, also eine zwei dimensionale Funktion.

    haben wir schon eine Funktion f(x) gegeben, gilt folgende Parametrisierung:
    γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, y(t)) = (t, f(t))

    für die Ableitung nach t gilt:
    dγ/dt = (1, f'(t))

    für den Betrag dieses Vektors gilt:
    |dγ/dt| = Sqrt( 1 + (f'(t))^2 )

    Dann gilt für die Länge:

    C = Integral von a nach b über Sqrt( 1 + (f'(t))^2 ) dt

    natürlich äquivalent zu t -> x, dt -> dt:
    C = Integral von a nach b über Sqrt( 1 + (f'(x))^2 ) dx
     

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